右の図のように、水平な床の上に質量mの台車と質量Mの物体を置き、これらを重さの無視できるバネで連結し

右の図のように、水平な床の上に質量mの台車と質量Mの物体を置き、これらを重さの無視できるバネで連結した。台車は床の上をバネの方向に沿って滑らかに動けるものとし(車輪の回転は運動に影響しないとする)、質量Mの物体と床の間には摩擦力が働くとする。摩擦力の最大静止摩擦係数μ0、動摩擦係数をμとする。重力加速度をgで表す。初めに台車mと物体Mは静止しておりバネは自然長だったとする。バネの自然長をlとして、運動の方向にx軸を取る。台車のx軸上の位置をx、物体Mのx軸上の位置をXとする。x軸の座標の原点は、物体Mが始めに静止している位置x＝X＝0とする。

⑴台車mをバネを伸ばす方向にゆっくり引っ張ると、ある点まで引っ張ったところで物体Mが動き出す。この点の座標を求めよ。また、この過程で物体Mに働く摩擦力Fをxの関数としてグラフに表せ。[ヒント]バネの伸びはx-lであることに注意せよ。

⑵⑴の点に達する前に台車から静かに手を放すと、台車はバネの力によって往復運動を始める。このような運動は何と呼ばれるか答えよ。この時の台車の運動方程式を書き、往復運動の周期と往復の中心の位置を求めよ。さらに、運動方程式から台車の位置xを求めてグラフに表せをただし、手を放す点をx＝x0、時刻をt＝0とする。

解いてはみましたが自信がありません。
解説等していただけると助かります。
どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ご指摘の通り自分の解答も書いておくべきでした。
  ⑴に関して物体Mの最大静止摩擦力より引っ張る力が大きくなればいいと考え、最大静止摩擦力をF＝μ0*Mgとし、引っ張る力をF＝-kxとしました。これは教科書に載っていたものです。ここでヒントにあったばねの伸びx-lを使っていませんでした。何のために書いてあるんだって話ですね…。
  ⑵単振動の運動方程式がm*d^2x/dt^2＝-kx、と習ったので、これに対応させればいいのかと思いましたが、⑴が間違っており、ここでもばねの伸びを用いなかったので…。あと往復の中心の位置というのがよく分からなかったのですが、周期を4で割れば求めらるものなのですか？以下は運動方程式が求められていなかったので解けていません。周期は合っていました。
  この通り考ほとんど答えを出せていませんでした。嘘をついて申し訳ありません…。皆様の解説を参考にもう一度自分で考えてみます！！

    補足日時：2017/07/10 03:33

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/09 23:34

＞解いてはみましたが自信がありません。

だったら、その解答を書いてください。きちんと理解できているか、どこがおかしいか、きちんとアドバイスできると思います。

(1) ばねの復元力と、静止摩擦力との関係で求めます。自然長にあるときの物体Mの位置が x=0 なので、ばね定数を k として
　ばねの復元力 F = -k(x - L)
　最大静止摩擦力　Fm = μ0*M*g
ばねの復元力の物体Mに対する反作用が、最大静止摩擦力を上回ると動き出すので、動き出す条件は
　k(x - L) ≧ μ0*M*g
従って
　x ≧ μ0*M*g/k + k*L
動き出す瞬間は
　x = μ0*M*g/k + k*L

また、動き出す前の摩擦力は、ばねの復元力の反力としてつり合っているので、
　F(x) = k(x - L)

(2) このような運動＝単振動。
このときの台車の運動方程式は
　力：F = -k(x - L)
なので、台車の加速度を a とすると
　m*a = -k(x - L)

これは a=d²x/dt² なので
　d²x/dt² = -k(x - L)/m
これを解けば、一般解は
　x(t) = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt)
ただし ω=√(k/m)
従って、往復運動の周期は T=2パイ/ω＝2パイ*√(ｍ/k)

初期条件は、t=0 のとき x=x0 なので
　C2 = x0

往復運動の中心位置は、t=T/4=(1/2)パイ*√(ｍ/k) のとき x=0 なので
　C1 = 0
よって
　x(t) = x0*cos(ωt) = x0*cos[ √(k/m) *t ]

この回答へのお礼

補足にも書きましたが答えを出せたもの自体がほとんどありませんでした。嘘をついて申し訳ございませんでした。今教科書の問題を一から解いています。ある程度理解が深まった上で皆様の解説を参考にもう一度自分で考えます！また分からない所があったら質問するかもしれません。本当にありがとうございました。

お礼日時：2017/07/10 03:39

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/09 23:13

(1)

物体Mが動き出すのは、
物体Mに加わるばねの引く力が
物体Mの最大制止摩擦力と等しくなったときなので、k(x-l)=Mgμ0
よって、x=(Mgμ0/k)+l
物体が動き出すまで、摩擦力とばねの力がつりあうので、F=kxとなり、
kとxが比例したグラフを書けばよい。
(2)
これは、まず、単振動と予想されます。
そこで、運動方程式を立てると、
ma=-k(x-l)
よってw=(k/m)＾(1/2)
よって、周期は
2π/w=2π(m/k)＾(1/2)
振動中心は
a=0のとき、x=lなので、x=l
位置xと時刻tの関係式は、
x=x0(四分の一周期ずれた状態)でスタートしたので、
x=x0sin(wt+π/2)
=x0cos(wt)
グラフは略
というのでどうでしょうか。
間違えてたらすいません。
勉強頑張ってくださいね。

この回答へのお礼

ばねの伸びx-l、自然長lを使えてしませんでした…。分かりやすく解説ありがとうございます。改めて知識、考え方を深めた上で皆様の解説を参考にもう一度自分で考えてみます！本当に助かります。ありがとうございました。

お礼日時：2017/07/10 03:41