力学の問題です。 解ける方詳しい解説を下さると嬉しいです。 よろしくお願いいたします。

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よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/08/24 21:46

（1）ひもの固定点Oのまわりの角運動量の鉛直成分をLzとすれば

角運動量の時間変化率はOのまわりの力のモーメントに等しいということと、重力は鉛直方向に、
抵抗力は速度ベクトルと逆向きに、ひもの張力はOに関する位置ベクトルと逆向きにそれぞれ働くから
dLz/dt＝－(b/m)Lz　という微分方程式が出ます。
これを解くとLz＝Cｅ＾(-ｂt/m)　となるが、初期条件ｔ＝0でLz＝0なのでC＝0
ゆえに、すべての時刻tでLz＝0　となります。そうすると、おもりの水平方向の座標を
x、yとしたとき、Lz＝m(xdy/dt－ydx/dt)なので、xdy/dt－ydx/dt＝0がなりたちます。
ということは、d(y/x)/dt＝0となるのでy/x＝k(定数)、y＝kxとなりy＝kxは鉛直軸を通る平面なので
運動は鉛直軸を通る平面内で起こるということになります。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/08/25 17:36

(2)

ひもの固定点Ｏを原点、ｚ軸を鉛直下方にとる直交座標系のｘｚ平面内でひもがｚ軸から角θ₀
をとる位置からおもりをはなした場合（1）よりおもりはこのｘｚ平面内を運動します。
それで、ｘ軸、ｚ軸に関する運動方程式を立てると
ｍd²x/dt²＝－Tsinθ－bdx/dt、ｍd²z/dt²＝－Tcosθ－bdz/dt＋mg　Tはひもの張力
この２式からTを消去し、x＝ℓsinθ、z＝ℓcosθ、より
dx/dt＝ℓcosθ(dθ/dt)、dz/dt＝－ℓsinθ(dθ/dt)、
d²x/dt²＝ℓ(－sinθ(dθ/dt)²＋cosθ(d²θ/dt²)）
d²z/dt²＝－ℓ(cosθ(dθ/dt)²+sinθ(d²θ/dt²))を代入します。
そしてθが小さいということで、sinθ≒θ、cosθ≒1とおきかえます。
そうすると、θ、dθ/dt、d²θ/dt²に関する多項式が出てきます。

ここで、θが小さいということから、dθ/dt、d²θ/dt²も小さく、これらの変数の２次以上の項は
１次の項と比べてさらに小さいから、２次以上の項は省略して１次の項だけ残すと最終的に
微分方程式、
d²θ/dt²+(b/m)dθ/dt+(g/ℓ)θ＝0　が出てきます。
これは定数係数の2階線形微分方程式だから、よく知られた方法で一般解を出せば
θ＝ｅ＾(-ｂt/2m)(C₁cosρt+C₂sinρt)　C₁、C₂は定数　ρは問題図のρ
となって、初期条件ｔ＝0でθ＝θ₀、dθ/dt＝0　でC₁、C₂を決定すれば
問題図の答えのらんの式になります。