地動加速度が単位インパルスの場合のインパルス応答は、初速度が-1になる理由を知りたいです。 どのよう

地動加速度が単位インパルスの場合のインパルス応答は、初速度が-1になる理由を知りたいです。

どのようにして導出すると初速度を-1であると求めることができるでしょうか。
教科書に突然こう書かれていたので疑問に思いました。

No.2 ベストアンサー 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/05/12 09:22

あ，もっと簡単には，見かけの外力 f(t) = -m δ(t - t_0) に対する運動量の保存則が下から三つ目の式です。

右辺が力積。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すっきりしました！

お礼日時：2018/05/13 09:10

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/05/12 08:18

地面と質点の相対変位を y(t) として，地動加速度が z(t)'' だったとき，相対変位に対する運動方程式は（プライムは時間微分のこと）

　　　m y'' + c y' + k y = - m z''
ですよね。これは教科書に書いてある。で，単位インパルスとして z'' を与えるので，ディラックのデルタを用いて（時刻 t=t_0 に与える）
　　　z'' = δ(t - t_0)
と与えられます。運動方程式を t_0 の前後 ε/2 の間で積分すると，変位が突然は生じないので
　　　∫ c y' dt = c y(t_0 + ε/2) - c y(t_0 - ε/2) = 0
であり，位置エネルギも突然は変化しないから
　　　∫ k y dt = 0
となります。で，運動方程式で残った項は
　　　∫ m y'' dt = - m ∫ δ(t - t_0) dt
となりますから，両辺をそれぞれ積分すると
　　　m y'(t_0 + ε/2) - m y'(t_0 - ε/2) = - m
になります。右辺はデルタ関数の定義
　　　∫ δ(t - t_0) f(t) dt = f(t_0)
を使いました。そして t = t_0 - ε/2 には質点は静止していましたから，左辺第 2 項はゼロになるので，結局 ε→ 0 の極限で
　　　y'(t_0) = - 1
となるので，時刻 t=t_0 に初速 -1 を与えればいいことがわかります。