物理の質問です

この問題解いてください。
(C)ぐらいからよく分からないです

問題
地表付近で、速度に比例する抵抗を受けながら落下する質量mの質点の運動について以下の設問に答えよ。なお、問題にしている時間中、質点は上空にあって、地表に到達しないものとする。
地表の、質点の直下の点を原点にとり、鉛直上向きにy軸をとることとし、時刻tでの質点の位置座標をy(t)と記し、v(t)=dy(t)/dtとおき、bを正定数として、速度に比例する抵抗
を-bv(t)と表す。
(A)定数bの次元を求めよ
(B)質点の運動方程式をv(t)を用いて表せ
(C)(B)で求めた運動方程式の初期条件
v(0)=v0
を満足する解を求めよ
(D)(C)で得られたv(t)をt積分することにより、初期条件y(0)=y0を満足するy(t)を求めよ
(E)(C)、(D)で得られたv(t)、y(t)においてb→0の極限を求め、その結果を意味するところを述べよ。なお、必要に応じてロピタルの定理を用いてよい。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/01 13:03

なかなか回答が付かないようなのでやってみました。

(E) は結果が分かっているので、多少技巧的です。

(A) 速度 v (m/s) に対して -bv が「力 (N = kg･m/s^2) 」なので
　b [ kg/s ]

(B) m*dv/dt = -mg - bv

(C) 方程式を
　　dv/dt = -g - (b/m)v
として
　　u = g + (b/m)v
とおくと
　　du/dt = (b/m)dv/dt
→　dv/dt = (m/b)du/dt
なので、方程式は
　(m/b)du/dt = -u
従って
　∫(1/u)du = - (b/m)∫dt
→　ln(u) = -(b/m)t + C1
→　u = e^[-(b/m)t] * e^C1
　　　= C*e^[-(b/m)t]

u を戻して
　g + (b/m)v = C*e^[-(b/m)t]
→　v(t) = (m/b)C*e^[-(b/m)t] - mg/b

初期条件
　　v(0) = (m/b)C - mg/b = v0
より
　　C = (v0 + mg/b)(b/m) = (b/m)v0 + g
従って
　　v(t) = (v0 + mg/b)e^[ -(b/m)t ] - mg/b　　②

（検算として、t=0 なら v(0)=v0, t→∞なら v(t)→ -mg/b で、最初の微分方程式で dv/dt=0 となる「終端速度」に一致します）

(D) ②を時間で積分すると
　　y = ∫vdt = -(m/b)(v0 + mg/b)e^[ -(b/m)t ] - (mg/b)t + C3
初期条件
　　y(0) = -(m/b)(v0 + mg/b) + C3 = y0
より
　　C3 = y0 + (m/b)(v0 + mg/b)
従って
　　y(t) = [ g(m/b)^2 + (m/b)v0 ]{ 1 - e^[ -(b/m)t ] } - (mg/b)t + y0
　　　　= (m/b)(v0 + mg/b){ 1 - e^[ -(b/m)t ] } - (mg/b)t + y0　　　　　③

(E) b→0 のとき
　②は　v(t) = v0*e^[ -(b/m)t ] + mg{ e^[ -(b/m)t ] - 1 }/b
　　この第1項は　lim[b→0]{ v0*e^[ -(b/m)t ] } = v0
　　第2項は、分子・分母とも b=0 のとき 0 なので、ロピタルの定理を使って
　　　　d{ e^[ -(b/m)t ] - 1 ] }/db = -(t/m)e^[ -(b/m)t ]
　　　　db/db = 1
　　なので
　　　　lim[b→0]mg{ e^[ -(b/m)t ] - 1 }/b
　　　= lim[b→0]mg{ -(t/m)e^[ -(b/m)t ] } = -gt
　　従って、②は
　　　　lim[b→0]v(t) ＝ v0 - gt　　　　　　　　　　④

　③は　y(t) = ( m^2g{ 1 - e^[ -(b/m)t ] } - mgbt )/b^2 + mv0{ 1 - e^[ -(b/m)t ] }/b + y0
　　と変形して、
　　第1項は、分子・分母とも b=0 のとき 0 なので、ロピタルの定理を使って
　　　　d( m^2g{ 1 - e^[ -(b/m)t ] } - mgbt )/db = m^2g(t/m)e^[ -(b/m)t ] - mgt
　　　　= mgt{ e^[ -(b/m)t ] - 1 }
　　　　d(b^2)/db = 2b
　　　これらはともに b=0 のとき 0 なので、再度ロピタルの定理を使って
　　　　d( mgt{ e^[ -(b/m)t ] - 1 } )/db = -mgt(t/m)e^[ -(b/m)t ]
　　　　= -gt^2{ e^[ -(b/m)t ] }
　　　　d(2b)/db = 2
　　　なので
　　　　lim[b→0]( m^2g{ 1 - e^[ -(b/m)t ] } - mgbt )/b^2
　　　= lim[b→0]( -gt^2{ e^[ -(b/m)t ] }/2 ) = -(1/2)gt^2

　　第２項も、分子・分母とも b=0 のとき 0 なので、ロピタルの定理を使って
　　　　d( mv0{ 1 - e^[ -(b/m)t ] } )/db = mv0(t/m)e^[ -(b/m)t ]
　　　　　= v0t*e^[ -(b/m)t ]
　　　　db/db = 1
　　なので
　　　　lim[b→0]mv0{ 1 - e^[ -(b/m)t ] }/b
　　　= lim[b→0]v0t*e^[ -(b/m)t ] = v0t
　　従って、③は
　　　　lim[b→0]y(t) = y0 + v0t - (1/2)gt^2　　　　　　　⑤

　　④、⑤は、空気抵抗がない場合の「初期位置 y0, 初速 v0 で投げ上げたときの自由落下」の式である。