『加(加(加…))速度運動』

加速度運動の疑問です。
普通の(敢えて、”普通の”と言わせていただきますが)物理学では、加速度運動と言えば、加速度の大きさをa₁とすると、初速度＝０の場合、時間t後の速さvをｖ＝a₁t、距離LをL＝1/2・a₁ｔ²と表します。
しかし、a₁がa₁＝a₂ｔと表される場合は？t後の速さvがｖ＝1/2・a₂ｔ²、Ｌ＝１/(2・3)・a₂t³と表される場合があるとしたらどうなるのか？
さらにこのプロセスがずっと進んで、ｖ＝１/(n!)・a(ｔ∧n)、Ｌ＝1/(n+1)!・a{t∧(n+1)｝と表され、ｎが原理的にはどこまでも大きくなる運動、いわば、加(加(加…))速度運動とでもいえる運動は可能なのか？（なお、Ⅴは光速以下の範囲とします。）
自然は何らかの仕組みでこのような運動を封じているのでしょうか？

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/25 23:00

ご参考までに：「加加速度」と「加加加速度」あたりまでが、実用でよく使われる概念です。

位置の時間による3階微分、すなわち「加加速度」は別名「躍度」とも言います。4階微分「加加加速度」の別名は知りません。
　電車などの運転制御では最低限、加加速度が滑らかに変化するよう制御する必要があります。電車が減速するときに、水平方向の加速度が発生し、鉛直方向の加速度（すなわち重力）との合成によって、ちょうど電車の床面が傾いているのと等価の状態になります。その電車の中で立っている人は、斜面で踏ん張っているのと同じ、ということです。もし、斜面の傾きがイキナリ変化したら転んでしまうでしょう。だから加速度をじんわり滑らかに変化させなくちゃいけない。言い換えれば、加加速度の絶対値があまり大きくならないようにする必要がある。
　さらに、斜面の傾きが突然変化しはじめると、立っている人が傾斜に応じて体勢を調節するのが間に合わなくてぐらぐらしてしまうでしょう。言い換えれば、加加速度がいきなり変化するのはよろしくない。ですから、「乗り心地が良い」と言わせるには加加速度もじんわり滑らかであることが求められ、つまり加加加速度の絶対値があまり大きくならないようにする必要がある、というわけです。
　ですから、優秀な運転士が運転する電車が加速中、あるいは減速中には、等加加加速度運動に結構近いことが生じているんじゃないでしょうかね。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/24 19:47

「加速度運動」といえば、加速度が定数 0 ではない運動全般を指します。

「時間 t 後の速さ v を v=a₁t 」とする運動は「等加速度運動」です。
まずは、常識的な用語の確認をしてはどうでしょうか。

それは解っていることを前提に、「等加加速度運動」「等加加加速度運動」
のような運動は可能なのか？を考えると...
動力をコントロールして、結果的に運動がそのようなものになるように調節
することはたいていの場合可能でしょう。
自然現象として「等加加加速度運動」のようなものがあるか？といえば、
見の回りでは、あまり見かけないですね。

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/24 12:10

お礼コメントに対してですが、そんな制限はありません。

回答で書きましたが「加加速度」「加加加速度」のような「加加加…加速度」と言う概念を考える事ができない理由は何もありません。「加加加…加速度」はいくらでも「加の字を並べる数」を大きくできます。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/23 12:47

>いわば、加(加(加…))速度運動とでもいえる運動は可能なのか？

可能です。
例えば単振動は無限に時間微分でき、ゼロにはなりません。

この回答へのお礼

ご意見、ありがとうございます。単振動の場合、加速度の大きさは周期的でどこまでも大きくなっていく、ということはありませんよね。そうした場合はあるだろうか、（むろん光速の限界は考慮したうえで）ということだったのです。

お礼日時：2022/05/24 12:01

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/23 12:21

加速度の意味をおさらい。

時間⊿tの間の速度変化が⊿vである場合、この時の加速度aを

a=⊿v/⊿t

となります。そしてもし「加加速度」なる物理量αを定義するとしたら、それは⊿tの間の加速度aの変化量

α=⊿a/⊿t

とするべきであるはずです(「加加加速度」等も同様)。そして質問文のa2が出て来る式は加速度が時間的に変化しているわけですから前述の「加加速度」が出て来る事になります。そして前述のように「加加加速度」「加加加加速度」等はその気になれば好きなだけ定義できます。

ただ運動方程式は加速度についての式ですし、また実務上においても加速度の事だけ気にしていれば「加加速度」等を論じなくても運動は記述できます。なので「加加速度」等は単に「その気になればそんな物理量を考える事もできる」と言うだけの話であって、実際に考える意味はないと思います。

この回答へのお礼

コメント、ありがとうございます。自然は、（人為的にでも）、加速度の加速度の…というリレーというかドミノというか、をa₁程度で抑える（そう考えてかまわないような）何らかのメカニズムを持っているということでしょう。

お礼日時：2022/05/24 12:04

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/23 09:37

＞加速度の大きさをa₁とすると、初速度＝０の場合、時間t後の速さvをｖ＝a₁t、距離LをL＝1/2・a₁ｔ²と表します。

それは「a₁」が一定（定数）である「等加速度運動」という特殊な場合に過ぎません。
高校物理では、ここまでしか取り扱いません。

一般には「加速度は時間とともに変化する」ので、加速度は「定数（一定）」ではなく
　a(t)
という「時間の関数」になります。
a(t) は「一定ではない、時間とともに変化する」ので、もはや
　L＝1/2・a₁ｔ²　　　①
という式は成り立ちません。

そのときには
　v(T) = ∫[0→T]a(t)dt　　　　②
　L(T) = ∫[0→T]v(t)dt　　　　③
という関係式になります。
①は、a(t) = a₁ (=定数）という特別なの場合の②、③の結果に過ぎません。

a(t) は、t に関する多項式（一次、二次、三次・・・）であっても、三角関数や指数関数であっても、どんな関数でも構いません。
どんな関数に対しても②で速度が、③で変位が求まります。

この回答へのお礼

有益なご意見、ありがとうございます。

お礼日時：2022/05/24 12:05

No.3 回答者： amelielico 回答日時： 2022/05/23 09:07

誤字多いので、訂正

公式の再定義する場合は、その公式がどのように「求められたか」をよく考える必要があります。
ニュートンは、微分と積分という数学の道具を「発明」してその道具を用いて、力を「加速度」という概念で説明しました。
そしてあなたは、その加速度の時間変化を、
「加加速度」と再定義しました。
速度は、距離の「微分」です。
加速度は、速度の微分であり、同時に距離の「二階微分」です。
そしてあなたが再定義した「加加速度」は距離の三階微分です。
あなたがいま考えている思考実験は所謂、「多階微分」と言われるものです。
加速度を、あなたは加速度の変化と「加加速度」再定義しました。
加速度の時間変化、即ち、距離の三階微分は「力の変化」です。
あなたが思考していることは、多階微分です。そして距離を多階微分要素で表そうとする試みは、多階微分の多重積分です。
そしてあなたの思考実験では、多階微分は「無限大」ではなく「終わりのない永遠」と続きます。
この終わりのない永遠を、「無限大」という有限世界に閉じ込めたのもまたニュートンです。無限大は、∞という有限です。
世界はその瞬間に、「果てのある世界」になり、原子のように「最も小さいものが存在する世界」になったのです。
ニュートンは、世界をそのように固定化された静的なものとして「定義」したのです。
あなたは、ニュートンの世界の中で、その世界を疑い始めた「哲学者」です。
あなたが世界を学び、世界を再定義する日を楽しみにしております。

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2022/05/23 09:07

何を言っておられるのか理解不能ですが。

単に、加速度が時間変化しているだけです。車で加速中に更にアクセルを踏み込むなど、こんな事はいくらでもあります。ブレーキはマイナスの加速度。ただし、相対論的領域になると加速度を増しても（運動量変化を大きくしても）速度は頭打ちになってゆきます。

No.1 回答者： amelielico 回答日時： 2022/05/23 09:04

公式の再定義する場合は、その公式がどのように「求めらたか」をよく考える必要があります。

ニュートンは、微分と積分という数学の道具を「発明」してその道具を用いて、力を「加速度」という概念で説明しました。
そしてあなたは、その加速度の時間変化を、
「加加速度」と再定義しました。
速度は、距離の「微分」です。
加速度は、速度の微分であり、同時に距離の「二階微分」です。
そしてあなたが再定義した「加加速度」は距離の三階微分です。
あなたがいま考えている思考実験は所謂、「多階微分」と言われるものです。
加速度を、あなたは加速度の変化と「加加速度」再定義しました。
加速度の時間変化、即ち、距離の三階微分は「力の変化」です。
あなたが思考していることは、多階微分です。そして距離を多階微分要素で表そうとする試みは、多階微分の多重積分です。
そしてあなたの思考実験では、多階微分は「無限大」ではなく「終わりのない永遠」です。
この終わりのない永遠を、「無限大」という有限世界に閉じ込めたのもまたニュートンです。
世界はその瞬間に、「果てのある世界」になり、原子のように「最も小さいものが存在する世界」になったのです。
ニュートンは、世界をそのように固定化された世界が静的なものとして「定義」したのです。
あなたは、ニュートンの世界の中で、その世界を疑い始めた「哲学者」です。
あなたが世界を学び、世界を再定義する日を楽しみにしております。