xy平面上を運動する物体Aがある。この物体の時刻tにおける位置ベクトルra(t)がra(t)＝p +

xy平面上を運動する物体Aがある。この物体の時刻tにおける位置ベクトルra(t)がra(t)＝p +qtと表されている。ここに、ベクトルpとqは一定のベクトルであり、その成分表示はp＝(2.2),q＝(4.8)であった。
　また、時刻t＝0において物体Aと同じ位置を同じ速度で出発した物体Bが、物体Aと同じ直線上を、速度に比例した加速度を受けながら運動している。物体Bの時刻tにおける位置ベクトルをrb(t)、速度ベクトルをvbとする。時刻tにおける物体Bの加速度は、定数kを用いて−kvb(t)と表されていた。

物体Aのxy平面上の運動の軌跡は傾き2の直線であり、物体は時刻t＝−1/4にx軸上の位置x＝1を速度
(4.8)で通過する。

問題
k＝4とする。じゅうぶんに時間が経った時、物体Bの速度は
①(0,0)に近づいてき、位置は②(3,4)に近づいていく。

なんで0に近づいていくんですか？また②の式を教えて欲しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/23 23:29

これ、前の質問の続きですか？

↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12960373.html

p=(2, 2), q=(4, 8) なので
　ra(t) = (2, 2) + t(4, 8) = (2 + 4t, 2 + 8t)　　　(A)

速度は、(A) を t で微分して
　va(t) = dra/dt = (4, 8)　　　　(D)

t=0 のときの物体Ａの位置は (A) より (2, 2)


物体Ｂの速度を vb(t) とすると、速度は (D) より vb(0) = (4, 8)、加速度 -k･vb(t) の x成分、y成分を -k･vbx(t)、-k･vby(t) とすると
　dvbx(t)/dt = -k･vbx(t)
　dvby(t)/dt = -k･vby(t)

これを解けば
　∫(1/vbx)dvb = -k∫dt
→　log|vbx| = -kt + C1
→　vbx = ±e^(-kt + C1)
　　　= ±e^C1 ･e^(-kt)
　　　= Cx･e^(-kt)
t=0 のとき vbx(0) = 4 なので、Cx=4 であり
　vbx(t) = 4･e^(-kt)　　　　　(E)

同様にして vby(0) = 8 なので
　vby(t) = 8･e^(-kt)　　　　　(F)

（E)(F) より、t→∞ のとき
　vbx → 0
　vby → 0

位置は
　x(t) = ∫vbx(t)dt = -(4/k)e^(-kt) + C3
　y(t) = ∫vby(t)dt = -(8/k)e^(-kt) + C4
t=0 のとき、物体Ａと同じ (2, 2) にあるので、x(0) = 2, y(0) = 2 より
　-(4/k) + C3 = 2　→　C3 = 2 + (4/k)
　-(8/k) + C4 = 2　→　C4 = 2 + (8/k)
k=4 のときには
　C3 = 3
　C4 = 4
よって
　x(t) = 3 - e^(-4t)　　　　(G)
　y(t) = 4 - 2e^(-4t)　　　　(H)

(G)(H) より、t→∞ のとき
　x(t) → 3
　y(t) → 4

この回答へのお礼

はい、そうです。
分かりやすすぎる
感謝

お礼日時：2022/05/24 23:13