力学(抵抗力について)

鉛直上向きにy軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。時刻t=0に位置y=y(0)から質量mの物体を鉛直下向きに初速度v(0) (v(0)<0)で放り投げた。物体には、速度vに比例する抵抗力 -bv が働く。

1.運動方程式をvの微分方程式として書き出せ。

2.終端速度の大きさv(t)を求めよ。

3.運動方程式を解いて、t >0におけるv(t).y(t)を求めよ

4.y(0)=0、v(0)=-3v(t)/2 の時、十分時間がたったときのv(t),y(t)の漸近線を求めよ。

問題数多いですが、簡単でいいので途中式もお願いします。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/06/02 21:56

1.運動方程式

mdv/dt=-mg-bv

2.終端速度の大きさvt

vt=constantであってv=vtではdv/dt=0

よって

mdv/dt=-mg-bv=0

v=-mg/b=vt

3.mdv/dt=-mg-bvを解く

dv/dt=-g-bv/m=-(b/m)(v+mg/b)

mg/bは定数なので　dv/dt=d(v+mg/b)/dt よって

d(v+mg/b)/dt=-(b/m)(v+mg/b)

変数分離して

d(v+mg/b)/(v+mg/b)=-(b/m)dt

積分して

log(v+mg/b)=-(b/m)t+c

v+mg/b=Cexp(-bt/m)

v=Cexp(-bt/m)-mg/b

y=C(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+D

4.初期条件を入れて漸近解を求める

v(0)=C-mg/b=-3vt/2=(3/2)(mg/b)

C=(5/2)(mg/b)

y(0)=-Cm/b+D=0

D=Cm/b=(5/2)(m/b)^2g

よって

v(t)=(5/2)(mg/b)exp(-bt/m)-mg/b=(mg/b)[(5/2)exp(-bt/m)-1]

y(t)=(5/2)(mg/b)(-m/b)exp(-bt/m)-(mg/b)t+(5/2)(m/b)^2g

=(5/2)(m/b)^2g[1-exp(-bt/m)]-mgt/b


lim(t→∞)v(t)=-mg/b=vt

lim(t→∞)y(t)=(5/2)(m/b)^2g-mgt/b

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/06/02 22:30

１．物体に働く力は

－ｍｇ：重力
ーｂｖ：抵抗力
の二つなので、運動方程式は
ｍ・ｄｖ／ｄｔ＝－ｍｇ－ｂｖ　・・・（１）

２．上記において物体の加速度がゼロになるとき、物体の速度が
終端速度になるので
ーｍｇ－ｂｖ（ｔ）＝０
ｖ（ｔ）＝－ｍｇ／ｂ

３．　（１）を変数分離して
ｄｖ／（－ｍｇ－ｂｖ）＝（１／ｍ）・ｄｔ
両辺をｔで積分して
（－１／ｂ）・ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ）＝ｔ／ｍ＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
ｔ＝０のときｖ＝ｖ（０）なので
Ｃ＝（－１／ｂ）・ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０））
よって
ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ）＝－ｂｔ／ｍ＋ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０））　・・・（２）
ーｍｇ－ｂｖ＝ｅ＾（－ｂｔ／ｍ＋ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０）））
ｖ＝（－ｍｇ－ｅ＾（－ｂｔ／ｍ＋ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０））））／ｂ　・・・（３）
この両辺をｔで積分すると
ｙ＝（－ｍｇｔ＋（ｍ／ｂ）・ｅ＾（－ｂｔ／ｍ＋ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０））））／ｂ＋Ｃ’　・・・（３）
ｔ＝０のときｙ＝ｙ（０）なので
Ｃ’＝ｙ（０）－（ｍ／ｂ）（－ｍｇ－ｂｖ（０））

　＊ｖ（ｔ）、ｙ（ｔ）の代わりにｖ、ｙと書いていますのでご注意。
　＊長くなるので（３）へのＣ’の代入は適宜やって下さい。
　＊計算にあまり自信がないので確認してください。考え方はＯＫだと思います。

４．漸近線というのはｔ→∞のときの極限値ということでいいのかな？
（３）においてｔ→∞とするとｅ＾（－ｂｔ／ｍ＋ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０））））→０なので
ｖ→－ｍｇ／ｂ

ｙは収束しないでしょう。終端速度に達したらあとは等速運動を続けるので。

No.3 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/06/03 07:24

あ、訂正。

問い３のＣ’は
Ｃ’＝ｙ（０）－（ｍ／ｂ）（－ｍｇ－ｂｖ（０））／ｂ
だった



それから、問い４のｙについては収束する／しないではなかった。
ｙ＝（－ｍｇｔ＋（ｍ／ｂ）・ｅ＾（－ｂｔ／ｍ＋ｌｏｇ（－ｍｇ－ｂｖ（０））））／ｂ＋Ｃ’　・・・（３）
及び
Ｃ’＝ｙ（０）－（ｍ／ｂ）（－ｍｇ－ｂｖ（０））／ｂ
においてｔ→∞とし、ｙ（０）＝０、v(0)=-3vt/2　とすると
ｙ＝－ｍｇｔ／ｂ－（ｍ／ｂ）（－ｍｇ＋３ｂ・ｖｔ／２）／ｂ
ｖｔ＝－ｍｇ／ｂ　なので
ｙ＝－ｍｇｔ／ｂ－（ｍ／ｂ）（－ｍｇ－３・ｍｇ／２）／ｂ
　＝－ｍｇｔ／ｂ＋５（ｍ／ｂ）＾２・ｇ／２