数列の問題 ひとつ前の項において"1"は"2"に、"2"は"12"とする操作を加えて次の項を作る。こ

数列の問題


ひとつ前の項において"1"は"2"に、"2"は"12"とする操作を加えて次の項を作る。この操作を繰り返すとでできる数列

 

{a_n}=1, 2, 12, 212, 12212, 21212212 …

 

の一般項を求めよ。


これの答えを教えてくださいm(_ _)m

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/10/21 18:27

a_[1]＝1、a_[2]＝2、a_[3]＝「1」「2」＝a_[1]a_[2]、a_[4]＝「2」「12」＝a_[2]a_[3]、a_[5]＝「12」「212」＝a_[3]a_[4]、・・・

実はある項の数字は、２つ前の項を１つ前の項の数字をそのままくっつけた数となっています。

さらに、a_[n]の桁を確かめてみると、初項１、第２項も１のフィボナッチ数列となります。

１は１桁、２は１桁、１２は２＝（１+１）桁、２１２は３＝（１+２）桁、１２２１２は５＝（２+３）桁、２１２１２２１２は８＝（３+５）桁・・・

フィボナッチ数列を{F_[n]}としておくと、a_[n]＝(10^F_[n－1])a_[n－2]＋a_[n－1](n≧3)という漸化式が立てられます。

これをどう解くか・・・。私にはよくわかりません。

ヒントになればうれしいです。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます

ご指摘の通り、フィボナッチ数列が絡んでいることは想像がついているんですが、漸化式からどう進めれば良いのかがわかりません(-_-;)

実はこれは自分で思い付いた問題で、解けるのかどうかすらわかりません(-_-;)

ご協力有難うございます！

お礼日時：2017/10/21 21:34