位数665の郡はアーベル群であることを示せ。 この問の答えを教えてください。代数学です。

位数665の郡はアーベル群であることを示せ。

この問の答えを教えてください。代数学です。

No.1 ベストアンサー 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/12/11 09:18

知恵袋で質問した方に回答がついたようです。

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位数665の群Gとし、その位数を素因数分解すると、|G|=5・７・１９となる。
したがって、Sylowの定理より、5-Sylow部分群G[5], 7-Sylow部分群G[7], 19-Sylow部分群G[19]が存在する。
それぞれSylow部分群の数は、
5-Sylow部分群G[5]の共役類の数sは、s=[G: N_{G}(G[5])]≡1 (mod 5)
7-Sylow部分群G[7]の共役類の数tは、t=[G: N_{G}(G[7])]≡1 (mod 7)
19-Sylow部分群G[19]の共役類の数uは、u=[G: N_{G}(G[19])]≡1 (mod 19)を満たす。
ただし、部分群H⊂Gに対して、N_{G}(H)={g∈G | gHg^{-1}=H}である。いわゆるGの正規化群である。
k=5, 7, 19とすると、各k-Sylow部分群G[k]は、N_{G}(G[k])の部分群となるので、
[G: N_{G}(G[k])]は[G: G[k]]の約数となる。
つまり、[G: G[5]]=７・１９、[G: G[7]]=5・１９、[G: G[19]]=5・7
なので、s=[G: N_{G}(G[5])]=1, 7, 19, ７・１９、t=[G: N_{G}(G[7])]=1, 5, 19, 5・１９、u=[G: N_{G}(G[19])]=1, 5, 7, 5・7
となる。s≡1 (mod 5), t≡1 (mod 7), u≡1 (mod 19)なので、
[G: N_{G}(G[5])]=1, [G: N_{G}(G[7])]=1, [G: N_{G}(G[19])]=1
となる。したがって、G=N_{G}(G[k]) (k=5, 7, 19)となる。
つまり、G[5], G[7], G[19]の共役類は、それぞれG[5], G[7], G[19]だけである。
|G[5]|=5, |G[7]|=7, |G[19]|=19なので、それぞれの位数は素数で、互いに素なので、|G[m]∩G[n]|=1 (m≠nに対して、m, n=5, 7, 19)
したがって、G[m]∩G[n]={1}である。
また、G[5], G[7], G[19]はそれぞれGの正規部分群なので、G[5]G[7], G[5]G[19], G[7]G[19]はそれぞれGの部分群。
G[m], G[n]⊂G[m]G[n] (m≠nに対して、m, n=5, 7, 19)であり、5, 7, 19は互いに素なので、|G[m]G[n]|はm, nの最小公倍数となる。
一方で、|G[m]G[n]|<=mnなので、G[m]G[n]=Z/mnZとなる。ゆえに、
Z/mnZ=G[m]×G[n]G[5]G[7]G[19]の時も同様にして、G[5]G[7]G[19]=Z/(5・7・19)Z=Z/665Z=Gとなる。
Gは巡回群となり、したがってAbel群となる。