行列の標準形を作る問題って要するに、転置とか行交換とかしまくって、0と1だけの行列にするってことです

行列の標準形を作る問題って要するに、転置とか行交換とかしまくって、0と1だけの行列にするってことですか？？

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/02 01:11

No.3です。

No.3の回答を撤回します。質問者さんのいう標準形は、
行簡約階段形（Reduced row echelon form)のことらしい。
これは正則な正方行列をGauss消去法を使って階段形にすると、行列要素を１と０ばかりにして単位行列にすると、そこで、Gauss消去法の手続きが終わるが、列数が行数より大きい行階段形では、Gauss消去法で消えなかった列が残りる時は、０と１以外の要素が残る。連立方程式の解を求める時には、この残った部分が解となる。つまり、０と１以外の残った部分を求めるのが目的である。
質問者さんは、そんなことは先刻ご承知と思うが。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/01 12:43

１、

行列の標準形を作る問題って、0と1だけの行列にするってことですか？？＞
違います。２つの間違いがある。間違いを覚えると、何が何だか分からなくなり、大きなさまたげになります。
大事なのは固有値です。固有値と、0と、一部の場合に1を使います。固有値は対角線上のみに置きます。
固有値の中に0や1があれば、それは当然、対角線上に置きます。
実用上多く使う行列の問題では、対角線以外はすべて０にします。その時は、対角線上だけに固有値があるので、標準形を作ることを対角化とも言います。対角化は固有値と0だけの行列にすることです。
固有値以外で、1を使う時は、対角要素(対角線上の要素)の一つ上の要素だけに使います(今は詳しい説明は略す）。
２、転置とか行交換とかしまくって、0と1だけの行列にする＞
対角化と、ジョルダン標準形への標準化に、転置と行交換は使いません。これが、2番目の間違いです。使うのは相似変換です。行列AとPから、B＝P^(－1) APを計算することを、相似変換といいます。
B=(Pの逆行列)×A×P
Aに相似変換を一回行えば、対角化、またはジョルダン標準形への標準化ができます。
ただし、一度でできる行列Pが見つからないとき、何回かに分けて行うことはあります。
３、対角化は何の役に立つか
原子・分子の状態や運動を計算する理論に量子力学があります。それには対角化が欠かせません。
例えば、２個の水素原子と1個の酸素原子から水分子ができて、安定であるという計算に、対角化が出て来ます。あるいは、ガンに効く薬をコンピュータを使って設計するなど、基本技術です。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/01 12:18

基本変形の話なら、転置はやりません。

標準形も、上三角とかにするなら、下三角部分を0にするだけです。

そもそも変形は目的が有ってやるものなので、何をやりたいかによって
やることは全然違います。

No.1 回答者： あつしノリノリ 回答日時： 2018/06/01 01:11

０と１だけの行列にする事です。