数学的帰納法について。

Question

konjiiさん大変申し訳ありません。回答者をバカにしているのでは、ありません。本当にわからないのです。ベストアンサーをおしましたが、実際に解を求める場合とは、どういうことでしょうか？教えていただけると幸いです。なぜ、n=1,n=2を試しているのでしょうか？
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=50156

metabolian · Accepted Answer

いつもなら、
① n=1 のときは、正しい。
② n=k のときは正しいとすると、n=k+1 のときは正しい。
③ したがって、数学的帰納法により題意は証明された。

…と証明すればよいのですが、今回の場合、
（「問題の式」の左辺  z^n + 1/(z^n) = Z(n) とすると、）
②を証明しようとするときに n = k+1 の場合、
Z(k+1) = Z(k)・Z(1) - Z(k-1)となり、
Z(k) 以外にZ(k-1) (n=kの1個前！)の値が必要になります。

そこで、今回は
① n=1 と n=2 のときは、正しい。
② n=k と n=k+1 のときは正しいとすると、n=k+2 のときは正しい。
③ したがって、数学的帰納法により題意は証明された。

…として、n = k+2 の場合、
Z(k+2) = Z(k+1)・Z(1) - Z(k) 
           =2cos(k+1)θ・2cosθ-2coskθ 
           = … = 2cos(k+2)θ
となることを証明しています。

ちなみに、この式の右辺を別の方法で
「(正しいと仮定している) Z(k) のみの式」で表すことができるなら、
「n=2の場合、正しい」の証明は確かに不要になります。

都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 · Answer

> なぜ、｜z｜=1になると、1/z∧kはz∧kの複素共役になるのでしょうか？

たとえば z = 3+5i と z~ = 3-5i の場合
　　|z| = |z~| = √(34) ≠ 1.
　　1/z = (3-5i)/(3-5i)(3+5i) = -(3-5i)/16.
　　∴1/z ≠ z~

一方 z = (1+√3i)/2 と z~ = (1-√3i)/2 では
　　|z| = |z~| = 1.
　　 1　　　　 1　　　 　(1-√3i)/2
　　--- = ------------ = -------------- = (1-√3i)/2
　　 z　　 (1+√3i)/2　　(1-3i^2)/4
　　∴1/z = z~

metabolian · Answer

>解くと z=cosθ + isinθ
>ここで 
>z^k = coskθ + isinkθ を仮定

これは、（「仮定」って書いてありますが）
No.7で"不要"と言ってた「ド・モアブルの定理」ではないかと思います。

metabolian · Answer

>n=kの1個前!の、!は、意味があるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

ただの、『強調』です。

『階乗』とかじゃないですよ。（＾＾；）

tknakamuri · Answer

>必要なら後で,証明作って上げます。

簡単ですが、まず n=1 の場合
z + 1/z = 2cosθ は簡単な z の2次方程式ですから、解くと z=cosθ + isinθ
ここで 
  z^k = coskθ + isinkθ を仮定すると |z| = 1 ですから 1/z^k は z^k の複素共役になるので
  1/z^k = coskθ - isinkθ

ですから
 z^k + 1/z^k = 2coskθ

これを前提に n = k+1 の場合を計算すると

z^(k+1) = (coskθ + isinkθ)(coskθ + isinkθ) = cos(k+1)θ + isin(k+1)θ
1/z^(k+1) = cos(k+1)θ - isin(k+1)θ
ですから
 z^（k+1) + 1/z^(k+1) = 2cos(k+1)θ

以上から、
z^k = coskθ + isinkθ、z^k + 1/z^k = 2coskθ → 
z^(k+1) = cos(k+1)θ + isin(k+1)θ,  z^（k+1) + 1/z^(k+1) = 2cos(k+1)θ

が示されました。n=1の場合は前提条件なので必ず正しいので、数学的帰納法により任意の n に対して
正しいことが証明されました。

以上。

tknakamuri · Answer

肝心なこと書いてなかった。
らすかるさんの証明は
S_k=z^k + 1/z^k
とすると
S_(k+2)=S_(k+1)・S_1 - S_k
とかけるのを出発点にしてるからですね。

ここから先、陽にzが証明に出てこないのが
美しいと言えなくもない(^-^;

tknakamuri · Answer

>ただn=kを仮定しずn=k,n=k+1を仮定するのはなぜかってことだと思います

有り難うございます。
らすかるさん という人の趣味でしょうね。

以前やったことがありますが、
n=k→n=k+1 を導くのは全然難しくありませんし
ドモアブルも不要です。

ごく簡単な角度の加法定理の練習問題になっていたと
思います。今ちょっと忙しいので、必要なら後で
証明作って上げます。多分ネットにもゴロゴロ
ありそうですが・・・

何れの方法をとるかはどうでもよい話です。
本質的に何の意味も有りません。

uyama33 · Answer

質問者が、数学的帰納法をどのように理解しているかが分からないので、
回答者とのすれ違いが起きているように見えます。
そこで、
質問者様にとって、
数学的帰納法はどのような証明方法として理解されているのかを
補足して見れば、納得できる回答がもらえると思います。
ぜひ、補足していただきたい。
よろしくお願いします。

Qじろ- · Answer

No.3さん
自分も最初はただn=1n=2で成り立っていることをなぜ示すのかわかってないからだと思っていましたが、それは違うようで、ただn=kを仮定しずn=k,n=k+1を仮定するのはなぜかってことだと思います

tknakamuri · Answer

>この問題で、n=k＋2を使う方法をとったのでしょうか？教えていただけると幸いです。

結局数学的帰納法という手法に関する質問じゃ無かったという話
なんですか?

数学的帰納法について。

いつもなら、

> なぜ、｜z｜=1になると、1/z∧kはz∧kの複素共役になるのでしょうか？

>解くと z=cosθ + isinθ

>n=kの1個前!の、!は、意味があるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

>必要なら後で,証明作って上げます。

肝心なこと書いてなかった。

>ただn=kを仮定しずn=k,n=k+1を仮定するのはなぜかってことだと思います

質問者が、数学的帰納法をどのように理解しているかが分からないので、

No.3さん

>この問題で、n=k＋2を使う方法をとったのでしょうか？教えていただけると幸いです。

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