数学的帰納法について。

Question

なぜ、n=1,n=2を調べないと一般項を推測できないのでしょうか？教えていただけると幸いです。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=50156

konjii · Accepted Answer

ｎ＝３、ｎ＝４でもOKです。要するに数学的帰納法とはｎが１増えても正しいと言えれば任意のｎでも正しいと言うことです。
計算しやすいようにｎ＝１、ｎ＝２である式が成り立つか調べなり立てば、ｎ＝ｋ、ｎ＝ｋ＋１でもなりたつと仮定できます。その仮定の元にもう一つ多いｎ＝ｋ＋２である式が成り立つか調べます。成り立てばｎ＝ｋとｎ＝ｋ＋１でも成り立つので、任意のｎである式は成り立つと言う証明方法です。慣れると大変便利な手法ですよ。
または、ｎ＝１である式が成り立つか調べなり立てば、ｎ＝ｋでもなりたつと仮定できます。その仮定の元にもう一つ多いｎ＝ｋ＋１である式が成り立つか調べます。成り立てばｎ＝ｋでも成り立つので、任意のｎである式は成り立つと言う証明方法です。
どちらかと言うと実際に解を求める場合、問題にもよりますが前者の方が解きやすいことが多いものです。

お茶碗持つ方 · Answer

それが難しい 
の、それは難しいとは、なぜでしょうか？
なぜ、難しいとわかるのでしょうか？

なら、あなたなら簡単に証明できますか? できるのならそれでもよし。できそうもないからあれこれ手段を考えているのです。ドモアブルの定理は高校の課程では扱わないことになっているのですよね。使いたければ別の手段で事前に証明しなければなりません。これって難しくありませんか?

単に証明すればいいだけなら、オイラーの公式を用いて 
(1) z=exp(±iθ) 
(2) 
2cosθ=exp(iθ)+exp(-iθ) 
z^n+1/z^n=exp(iθ)^n+1/exp(iθ)^n 
  =exp(inθ)+exp(-inθ) 
  =2cosnθ 
でもいいのです。但し、大学入試の場合、高等学校の課程では扱わないオイラーの公式は事前に証明しておく必要があります。(前述の通り、微分すると簡単に証明できます)

証明というのはあくまでも既知の理論の積み重ねによってなされなければなりません。正しくても、証明されていない理論は根拠にできないのです。

みんなでサイクリングに行こうとしているのに1人だけタクシーで先乗りすれば避難されるのと同じです。
ホームランを打っても、ダイヤモンドを回らずにホームベースを踏んだらアウトになります。
それと同じです。

konjii · Answer

帰納法による結論は必ずしも正しいとは言えませんが、数学的帰納法での結論は常に正しい。
これくらいWikipediaに書いてあります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
どちらかと言うと実際に解を求める場合、
とは私の長い経験からです。

所で、質問者さまの一連の疑問は教えてｇooいじめの何物でもありません。貴方は数学的帰納法のことを知り尽くしているのだが、教えてｇooの回答者どものアホさかげんを試しているようにしか見えません。
二度とここへは来ないでください。

お茶碗持つ方 · Answer

参ったな、ゴシメーとは!! 
スレ主さんがどこで躓いているのか測りかねてます。

z^k+1/z^k=2coskθ 
の時に必ず 
z^(k+1)+1/z^(k+1)=2cos(k+1)θ 
であることを直接示せればいいのですが、それが難しい (ドモアブルの定理を使えばできなくもないのですが)  ので、k+1 でもできることにして、次のk+2 で成り立つことを示しています。これでは k+2 で成立することを示すために k と k+1 の両方が必要になります。

つまり、この方法でドミノ式に全区間を論破するためには 2つの初期値が必要なのです。

証明問題の答は一通りではありません。別のルートからアプローチすれば、この問題の場合、帰納法ではなく演繹的に証明することも可能です。

テキスト文書だと数字以外の指数を表記できないので、以下 e^x (e の x 乗) という指数関数を exp(x) で表現することにします。

f(θ)=exp(iθ)(cosθ-isinθ) 
という関数を考えます。これを微分すると 
f’(θ)=iexp(iθ)(cosθ-isinθ)+exp(iθ)(-sinθ-icosθ) 
  =exp(iθ)(icosθ+sinθ-sinθ-icosθ) 
  =0 
よって f(θ) は定数関数 (θ の値か何であっても関数値は一定) である事が判ります。そこで θ=0 を代入すると 
f(0)=exp(0){cos(0)-isin(0)}=1 
f(θ)=1 
1=exp(iθ)(cosθ-isinθ) 
両辺に (cosθ+isinθ) をかけると 
cosθ+isinθ=exp(iθ) 
これは、オイラーの公式と呼ばれる指数関数と三角関数の関係を示す重要な公式です。これを用いると、
z=exp(±iθ) 
であることが判りますから、いとも簡単に証明できてしまいます。

Qじろ- · Answer

仮定しているところがn=k、n=k+1が成り立つことでその時にn=k+2が成り立っていると示してるからn=1、n=1+1のスタートが成り立っていればそれからずっと先も成り立つと言えるから。

takoハ · Answer

一般項を仮定して、その次の項を導き出したものが、最初から一般項に次の項の値を代入したものと一致する原理です！
将棋倒しになっていることを証明し、その次の項も仲間であることを認めるものです！

そして、n=2を調べる必要性は、n=1が条件だから、n=2から始める必要があると思います！

takoハ · Answer

将棋倒しの原理を利用しているので、最初の1とか1と2というように、始動がないと続かないですから！

お茶碗持つ方 · Answer

何度も同じ質問をされているようですが、まだ気付いていらっしゃらないようですね。

数学的帰納法の基本は、
① 最初の事象は正しい。 
② 正しい事象の次に起こる事象は常に正しい。

という二つの事が証明された時、常に正しい事が証明されるという理論です。
従って、通常は n=k の時正しいならば n=k+1 の時も正しい事が証明されていれば、n=1 の時に正しい事が証明されているだけで充分であり、n=2 は必要ありません。

では、なぜリンク先の問題では n=2 の場合を示しているのでしょうか? 
それは、上記の第2条件が変則的で、連続する二つの事象が正しい時に、その次の事象も正しいという前提条件が証明されているに過ぎないからです。つまり、n=k の時と n=k+1 の時に正しいならば、n=k+2 の時にも正しいということを示しています。

この場合には、第1条件の初期値は2つ必要になるので、n=1 と n=2 の両方を示さないと先に進められないのです。

数学的帰納法について。

ｎ＝３、ｎ＝４でもOKです。

それが難しい

帰納法による結論は必ずしも正しいとは言えませんが、数学的帰納法での結論は常に正しい。

参ったな、ゴシメーとは!!

仮定しているところがn=k、n=k+1が成り立つことでその時にn=k+2が成り立っていると示してるからn=1、n=1+1のスタートが成り立っていればそれからずっと先も成り立つと言えるから。

一般項を仮定して、その次の項を導き出したものが、最初から一般項に次の項の値を代入したものと一致する原理です！

将棋倒しの原理を利用しているので、最初の1とか1と2というように、始動がないと続かないですから！

何度も同じ質問をされているようですが、まだ気付いていらっしゃらないようですね。

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