
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
質問者が中学2年か3年で、「三角形の合同」と「平行四辺形の性質」はすでに学習しているものとして説明します。
直角三角形ABC(∠Cが直角)と合同な三角形A'B'C'を考えます。
2つの三角形を裏返さずに斜辺ABと斜辺B'A'が一致するように置きます。
すると長方形ができます。(なぜなら4つの角が直角だから)。
CとC'を結んでもうひとつの対角線を引きます。
対角線ABとCC'の交点をOとします。
平行四辺形の性質「平行線の対角線はそれぞれの中点で交わる」から、
ABの中点Mと点Oは、同じ点になります。
AM=BM、CM=C'M
がいえます。
この証明はまだ途中です。この後は自力で解いてみてください。
No.4
- 回答日時:
AM=BM=CMならば∠Cは直角
という証明は三角形の外接円から導き出されたのかと思いますが、その証明が出来れば同じように外接円を描いてあげて、∠Cから考えていけば
∠Cが直角ならばAM=BM=CM
といえるので、なんら問題ないと思いますが。
2つの証明は全く同じものですので、片方が証明された時点で、もう片方も証明出来たことになります。
No.3
- 回答日時:
>この逆(AM=BM=CMならばCは直角になるというのは)証明できまして理解できる
のであれば、そんなに難しくないですよ。一番簡単なのは転換法による証明でしょうか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%BC%E6%98%8E
つまり例えばAが鋭角⇒BM=CM<AM, Aが鈍角⇒BM=CM>AMも証明します。
すると、∠Aは鋭角か直角か鈍角かのうちどれか一つに必ず当てはまるので転換法によってこれらの逆もすべて成立する、というものです。
別の証明は中線定理を前提にします。中線定理は三平方の定理を仮定するだけで証明できますが、(たとえばその証明は、
http://contest2004.thinkquest.jp/tqj2004/70105/o …
)
この場合
∠Aが直角ならAB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)です。
さて、三平方の定理からAB^2+AC^2=BC^2=(2BM)^2だから、
2(AM^2+BM^2)=4BM^2
よってAM=BM
仮定よりBM=CMだから、AM=BM=CM
証明終わり。
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