直角三角形の性質

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質問者：orangebaby
質問日時：2006/08/11 03:22
回答数：5件

直角三角形の性質で
斜辺の中点をＭとすると　ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭというのがあるそうですが、これを証明することが
わかりません。
　この逆（ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭならばＣは直角になるというのは）証明できまして理解できるのですが。。。
　ご指導おねがいします　

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回答 (5件)

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No.5ベストアンサー

回答者： fronteye
回答日時：2006/08/11 18:08

質問者が中学2年か3年で、「三角形の合同」と「平行四辺形の性質」はすでに学習しているものとして説明します。

直角三角形ＡＢＣ(∠Ｃが直角)と合同な三角形Ａ'Ｂ'Ｃ'を考えます。
２つの三角形を裏返さずに斜辺ＡＢと斜辺Ｂ'Ａ'が一致するように置きます。
すると長方形ができます。(なぜなら４つの角が直角だから)。
ＣとＣ'を結んでもうひとつの対角線を引きます。
対角線ＡＢとＣＣ'の交点をＯとします。
平行四辺形の性質「平行線の対角線はそれぞれの中点で交わる」から、
ＡＢの中点Ｍと点Ｏは、同じ点になります。
ＡＭ＝ＢＭ、ＣＭ＝Ｃ'Ｍ
がいえます。

この証明はまだ途中です。この後は自力で解いてみてください。

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この回答へのお礼

ありがとうございました！

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お礼日時：2007/01/26 01:53

No.4

回答者： kaduno
回答日時：2006/08/11 06:07

ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭならば∠Ｃは直角

という証明は三角形の外接円から導き出されたのかと思いますが、その証明が出来れば同じように外接円を描いてあげて、∠Ｃから考えていけば
∠Ｃが直角ならばＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ
といえるので、なんら問題ないと思いますが。

２つの証明は全く同じものですので、片方が証明された時点で、もう片方も証明出来たことになります。

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No.3

回答者： pyon1956
回答日時：2006/08/11 05:57

>この逆（ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭならばＣは直角になるというのは）証明できまして理解できる

のであれば、そんなに難しくないですよ。一番簡単なのは転換法による証明でしょうか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%BC%E6%98%8E
つまり例えばAが鋭角⇒BM=CM<AM, Aが鈍角⇒BM=CM>AMも証明します。
すると、∠Aは鋭角か直角か鈍角かのうちどれか一つに必ず当てはまるので転換法によってこれらの逆もすべて成立する、というものです。

別の証明は中線定理を前提にします。中線定理は三平方の定理を仮定するだけで証明できますが、（たとえばその証明は、
http://contest2004.thinkquest.jp/tqj2004/70105/o …
）
この場合
∠Aが直角ならAB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)です。
さて、三平方の定理からAB^2+AC^2=BC^2=(2BM)^2だから、
2(AM^2+BM^2)＝4BM^2
よってAM=BM
仮定よりBM=CMだから、ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ
証明終わり。