rot rotA=grad divA-∇^2Aの証明ってどうやって書けばいいんですか？ ∇×(∇×A

rot rotA=grad divA-∇^2Aの証明ってどうやって書けばいいんですか？

∇×(∇×A)=∇(∇・A)-∇^2A=grad divA-∇^2A

って書けばいいんですか？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/08 17:05

画像の通り

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/08 13:40

A の成分表示を A = (Ax, Ay, Az) と置く。

Ax, Ay, Az は十分滑らかであると仮定する。

rot A = (∂Az/∂y - ∂Ay/∂z, ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x, ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y)
より、
(rot rot A の x 成分) = (∂/∂y)(∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y) - (∂/∂z)(∂Ax/∂z - ∂Az/∂x)
= ∂²Ay/∂x∂y - ∂²Ax/∂y² - ∂²Ax/∂z² + ∂²Az/∂z∂x.

div A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
より、
(grad div A の x 成分) = (∂/∂x)(∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z)
= ∂²Ax/∂x² + ∂²Ay/∂x∂y + ∂²Az/∂z∂x.

∇^2 A = div grad A なので、
(∇^2 A の x 成分) = ∂²Ax/∂x² + ∂²Ax/∂y² + ∂²Ax/∂z².

以上を使って、
(右辺の x 成分) - (左辺の x 成分)
= { ∂²Ay/∂x∂y - ∂²Ax/∂y² - ∂²Ax/∂z² + ∂²Az/∂z∂x }
　- { (∂²Ax/∂x² + ∂²Ay/∂x∂y + ∂²Az/∂z∂x) - (∂²Ax/∂x² + ∂²Ax/∂y² + ∂²Ax/∂z²) }
= 0.

ｙ 成分、 z 成分についても全く同様なので、
根性出して計算してみる。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/07/08 10:12

質問文の中にある「って書けばいいんですか」の直前の式は単に書き方を変えただけであって証明でも何でもありません。

例えば

∇×A=rotA

と言うのは単に「左辺の式の事を右辺のように書きます」と言うお約束であって、左辺と右辺が等しい事を証明した式ではありません。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/08 09:49

ふつうは「3次元直交座標系」で

　→A = (Ax, Ay, Az)
として、成分を使って「左辺と右辺が等しくなる」ことを示すんでしょうね。

No.3 回答者： はたはたさ 回答日時： 2024/07/08 09:18

頑張って計算する

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/08 08:26

おっと, 言葉が足りてなかった.

#1 の「なお」以降の「アウトだと思う」は
∇×(∇×A)=∇(∇・A)-∇^2A
の部分の話ね. ここでの「証明」は, 本質的にこの式を証明しろってことだろうから, これを証明なしにいきなり書いたらたぶんアウトだ.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/08 08:21

めんどうくさいけど地道に計算すればよいのでは?

なお,

∇×(∇×A)=∇(∇・A)-∇^2A=grad divA-∇^2A

って書けばいいんですか？

はアウトだと思う. たぶんその式自体を証明しろってことだろうから.