一様連続 e^x 証明

f(x)=e^x　は、x∈Rで一様連続ではないですよね？
図からイメージはできるのですが証明がいくら考えても分かりません、、、


ちなみに問題・解答などはなく自分でやろうとしているだけです。調べてみて、類題などは載っていましたがe^xやa^xは見当たりませんでした泣
（類題で、e^-|x|が一様連続という証明なら分かりました、、、）

どなたか模範解答いただけると幸いです（TT）

質問者からの補足コメント

• 写真とても汚くてすみません、
  自分でやってみたらこんな感じになってしまいました、意味分かりませんね…泣

  
    補足日時：2022/10/06 11:28

• 今一度解いてみてこんな感じになりました、
  はちゃめちゃな事書いていたらごめんなさい、
  添削お願いします。。

  
    補足日時：2022/10/06 12:18

• 補足、抽象的に書きすぎてしまったのでちゃんと書き直しました

  
    補足日時：2022/10/06 12:38

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/06 20:40

f(x)=e^x

任意のδ>0に対して
x=2/δ
y=x+(δ/2)
とすると
|x-y|=δ/2<δ

e^(2/δ)>2/δ
e^(δ/2)-1>δ/2
だから

|(e^x)-(e^y)|
=(e^x)|1-e^(y-x)|
=e^(2/δ){e^(δ/2)-1}
>(2/δ)(δ/2)
=1

だから
f(x)は一様連続ではない

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/06 17:23

訂正

|e^x-e^y|=e^x|1-e^(y-x)| なので

y-x=log(1+δ)とする。すると
　|x-y|=y-x=log(1+δ)<δ
となる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/06 15:25

写真はよくわからない。

一様連続でないときは、
ある ϵ>0 が存在して、任意の δ>0 について
　|x−y|<δ かつ |f(x)−f(y)|≧ϵ・・・・①
なる x,y が存在する。


そこで、
0<δ<1 のとき　x=log(1/δ)・・・・②
δ≧1 のとき　　　x=0・・・・・・・③
とし、yを
　x-y=log(1+δ)とする。

log(1+δ)<δ だから
　|x-y|=x-y=log(1+δ)<δ　

つぎに
　|e^x-e^y|=e^x|1-e^(x-y)|=e^x|1-(1+δ)|=(e^x)δ

すると、②のとき
　|e^x-e^y|=(e^x)δ=(1/δ)δ=1≧1
③のとき
　|e^x-e^y|=(e^x)δ=δ≧1

いずれにしても
　|e^x-e^y|≧1

ゆえに、①を満たす、ϵ=1 が存在するので、e^xは一様連続でない。