行列の証明

2×2行列A、Bがいずれも逆行列を持たず、A+Bは逆行列をもち、さらに、AB=BAならば、AB=0であることを証明せよ。

この問題の解説をお願いしたいです。

質問者からの補足コメント

• A、Bはいずれも逆行列を持ちません。「持つ」ではないです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/05 19:55

• すみません、答えを教えて欲しいです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/06 04:44

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/08 01:18

あぁ, もうちょい簡単になるわ.

Ax = 0, By = 0 となる (どちらも 0 でない) ベクトル x, y が存在しこれらは独立でなければならないから AB = O.

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/06 11:13

訂正　添え字間違えました。

式も一部修正


P11 = m(a^2 + bc) + na
= -n/(a+d)・(a^2+ad) +na = 0
P12 = m(ab + bd) + nb
= -n/(a+d)・b(a+d) + nb = 0
P21 = m(ac + cd) + nc
= -n/(a+d)・c(a+d) + nc = 0
P22 = m(bc + d^2) + nd
= -n/(a+d)・d(a+d) + nd = 0
#ad=bc を使ってます。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/06 11:06

泥臭いやり方だけど、無理やり解いてみました。

まず
A =
a b
c d
B=
p q
r s
と置き
AB=BA と解いてみます。
すると
a -d : b : c = p-s : q: r
が得られます。

これは b, c をスカラー倍したものがq, r で、
a, d をスカラー倍して同じスカラーを足した物が
p, sということなので

これはA, B が
B = mA + nE (m, n は任意のスカラー)
の関係を満たせばよいということになります。

Aが非正則でBも非正則になるには
ad-bc = 0 なので
detB = (ma+n)(md+n) -m^2bc = mn(a+d)+n^2
= n(m(a+d) +n)=0 → n = 0 または m = -n/(a+d)

n = 0 では A+Bも非正則になってしまうので
n≠0, m = -n/(a+d)

P =AB=A(mA+nE) = mA^2+nA

成分を計算すると
P11 = m(a^2 + bc) + na
= -n/(a+d)・(a^2+ad) +na = 0
P12 = m(ab + bd) + nb
= -n/(a+d)・b(a+d) + nb = 0
P13 = m(ac + cd) + nc
= -n/(a+d)・c(a+d) + nc = 0
P14 = m(bc + d^2) + nd
= -n/(a+d)・d(a+d) + nc = 0
#ad=bc を使ってます。

つまり P=0

裏に美しい理論が有りそうですが、とりあえず解けました(^^;

念のため
A + B = (m + n)A + nE
det(A+B) = {(m+n)a + n}{(m+n)d + n} - (m+n)^2・bc
= (m+n)^2(ad-bc) + (m+n)(a+d) + n^2
=(m+n)(a+d) + n^2

なので、m, n を適当に選べば A+B を正則にできます
ので、質問の条件に適合する m, n が存在することが分かります。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/06 05:00

A は 2つの独立な固有ベクトル x, y をもち, これらはどちらも B の固有ベクトルでもある. で条件から Ax = By

= 0 としてよいので AB = O.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/06 00:39

「問題」の「解説」がほしいの?

「逆行列を持たない」とか「AB=BA」とかの意味がわからない, みたいなこと?

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/05 20:11

失礼しました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/05 19:02

出来ません。

　A=[[1,0],
　　　[0,1]]
とします。
|A|=1≠0 なので逆行列を持つ。A=Bとする。すると
　A+Bは逆行列を持ち AB=BA
だが
　AB≠0