No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんなのはどうでしょう。
n^(1/n)→1 (n→∞)の代わりに、nを実数xに置き換えて、f(x)=x^(1/x)→1 (x→∞)を証明します。
これが証明できれば、x<=n<x+1となるxが存在することと、x>eでの関数f(x)= x^(1/x)の単調性から、はさみうちの原理によってn^(1/n)→1が証明されたことになると思います。
f(x)の両辺の対数をとると、log f(x) = (log x) / xなので、
lim(x→∞) {log f(x)}
=lim(x→∞) {(log x) / x}
=lim(x→∞) {(1/x) / 1} (∵ロピタルの定理)
=lim(x→∞) {1/x}
=0
よって、log f(x)→0なので、対数関数の連続性を考慮すればf(x)→1となり、結局n^(1/n)→1が証明された。
素早い回答ありがとうございます。
ふむふむ、こういう方法もあるのですね、
今の私では絶対思い付きません(-_-;)
こんな面白い解き方を見る度に数学がますます好きになります。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
参考 URL のページにある様です(難しくて,私には雰囲気しか解りません)。
◎ n 乗根の極限
ご参考まで。
参考URL:http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/li …
素早い回答ありがとうございます。
早速教えて頂いたページ見ました。
私も雰囲気がつかめる程度でしたが、他にも興味深い項目が
たくさんあって大変面白かったです。
ありがとうございました。
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