無限等比数列 r^n の収束・発散の ε-N による証明

高校数学に出てくる無限等比数列 r^n の収束・発散のε-N による証明を教えてください。
とりあえず

　　0<|r|<1⇒lim[n→∞]r^n = 0
（r = 0のときは自明なので（r = 0 のときは自明なので0<|r|<1 とした）

だけでもいいです。「無限等比数列 ε-N による証明」で検索したのですが、なかなか出てきません。

　　lim[n→∞]{ n/(n+2) } = 1

を証明するときは

　　∀ε>0,∃N > 0 s.t. n ≧ N ⇒ |n/(n+2)-1|<ε

を満たす N を探すのに

|n/(n+2)-1|<ε⇔|-2/(n+2)| <ε
　　　　　　　⇔2/(n+2) <ε
　　　　　　　⇔2/ε< n+2
　　　　　　　⇔n > 2/ε-2

と変形できるので N をガウス記号を使って

　　N = [2/ε-2] + 1

にとると N > 2/ε-2 なので

　　n ≧ N ⇒ n ≧ N > 2/ε-2

　　∴lim[n→∞]{ n/(n+2) } = 1

　これにならって

　　0<|r|<1⇒lim[n→∞]r^n = 0

を証明したいのです。

　　∀ε>0,∃N > 0 s.t. 0<|r|<1, n ≧ N ⇒ |r^n-0| <ε

を満たす N を探せばよいのでしょうが。0<|r|<1 という条件が加わっているので、よくわからないのです。

質問者からの補足コメント

• 解決しました。お騒がせいたしました。

    補足日時：2023/02/07 16:22

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/07 16:49

0<|r|<1

∀ε>0に対して
N>1+(1/{εlog(1/|r|)})
となる自然数Nがある
n>N となる任意の自然数nに対して

n
>N
>1+(1/ε)/log(1/|r|)
↓1/ε>log(1/ε)だから
>1+log(1/ε)/log(1/|r|)
>log(1/ε)/log(1/|r|)

log(1/ε)/log(1/|r|)<n
↓両辺にlog(1/|r|)>0をかけると
log(1/ε)<nlog(1/|r|)
↓nlog(1/|r|)=log(1/|r|^n)だから
log(1/ε)<log(1/|r|^n)
1/ε<1/|r|^n
↓両辺にε|r|^nをかけると
∴
|r|^n<ε

この回答へのお礼

ありがとうございました。深く感謝いたします。

お礼日時：2023/02/07 17:27

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/07 16:27

0<r<1 とする。

　1/r>1 → 1/r=1+h, h>0 とする。
すると
　r^n=1/(1+h)^n<1/(1+nh)<1/nh・・・①

∀ε>0, N=[1/(εh)]+1 とすると ([]はガウスの記号)、
n>Nのとき
　n>N>1/(εh) → 1/nh<ε
だから①は
　r^n<ε

https://examist.jp/mathematics/limit/nikouteiri- …

この回答へのお礼

ありがとうございました。深く感謝いたします。

お礼日時：2023/02/07 17:27