lim[x→3]√(x+1) = 2 をε-δ法で証明する

lim[x→3]√(x+1) = 2
を証明するのに
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
では
　　δ= 4ε-ε^2
とすればいいとあるのですが、回答者の方の証明の方法が私の持っている本（「イプシロ-ンデルタ」田島一郎著）とは少し違うので気になります。この本には

　　lim[x→1]√(x) = 1

　　∀ε>0,∃δ>0 s.t. 0 < |x-1| <δ⇒ |√(x)-1| <ε
　　|√(x)-1| = |x-1|/|√(x)+1| <δ/|√(x)+1|
　x≧0 なので
　　|√(x)+1| ≦ √(x) + 1 ≧ 1
　　∴|√(x)-1| < δ/|√(x)+1| ≦δ/1 = δ
　　∴δ= ε

という例が載っているので、それにならって以下のようにしたのですが、δ= 2εになります。どこかおかしいところがあるのでしょうか。

　　lim[x→3]√(x+1) = 2

　　∀ε>0,∃δ>0 s.t. 0 < |x-3| <δ⇒ |√(x+1)-2| <ε
　　|√(x+1)-2| = |( (√(x+1)+2)(√(x+1)-2) )/ (√(x+1)+2)|
　　　　　　　　= |x-3|/√(x+1)+2) < δ/(√(x+1)+2)

　x+1 ≧0 なので
　　|√(x+1)+2| ≦ √(x+1) + 2 ≧ 2

　　|√(x+1)-2| < δ/(√(x+1)+2) ≦ δ/2

　　∴δ= 2ε

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/30 10:25

一般論として, ε に対して δ が「唯一定まる」わけではない. 条件を満たしさえすればどのように決めてもいい.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/30 10:41

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/30 10:36

>δ= 4ε-ε^2

ε < 2
を前提にした式なんでしょうね。
「ε = 2 → δ は存在せず」はまずいけど

εに上限を設けていけないわけではないので・・・

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/30 10:41