f'(x)=g'(x)+2xsin(1/x)-cos(1/x) (x≠0) =g'(0) 2番は f

f'(x)=g'(x)+2xsin(1/x)-cos(1/x) (x≠0)
=g'(0)

2番は
f'(0)=lim(h→0) f(0+h)-f(0) / h
=lim(h→0) g(h)+h^2sin(1/h)-g(0) /h

これは微分可能になるんでしょうか？
振動しませんか？

(2)と(3)の過程と解説をどなたかご教授ください。

数学 微分可能

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/19 01:51

(2)

次式が h → 0 で存在すればよい。
　{f(h)-f(0)}/h={g(h)+h²sin(1/h)-g(0)}/h
　={g(h)-g(0)}/h+{h²sin(1/h)}/h
　={g(h)-g(0)}/h+hsin(1/h)
仮定から
　{g(h)-g(0)}/h → g'(0)
また
　|hsin(1/h)|≦|h| → 0
なので、f'(0)は存在し
　f'(0)=g'(0)

(3)
{f'(h)-f'(0)}/h の存在の可否を検討すればよい。

f'(h)は h≠0 なので(1)が使えて
　{f'(h)-f'(0)}/h={g'(h)+2hsin(1/h)-cos(1/h) -g'(0)}/h
　={g'(h)-g'(0)}/h+{2hsin(1/h)-cos(1/h)}/h
ここで仮定から
　{g'(h)-g'(0)}/h → g''(0)
であるが、後半の
　{2hsin(1/h)-cos(1/h)}/h=2sin(1/h) - cos(1/h)/h

については、２項は0に収束するが１項は、h → 0(h≠0)
のとき、振動して不定だから、極限は存在しない。

したがって、f''(0)は存在せず、f'(x)は x=0 で微分不可能。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

1番分かりやすかったためベストアンサーにしました。

遅れてしまい申し訳ないです。

お礼日時：2023/04/21 17:26

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/19 11:19

(2)

lim_{h→0}{g(h)-g(0)}/h=g'(0)
だから

任意のε>0に対して

あるδ1>0が存在して
0<|h|<δ1となる任意のhに対して
|({g(h)-g(0)}/h-g'(0)|<ε/2

δ=min(δ1,ε/2)とすると
0<|h|<δとなる任意のhに対して

0<|h|<δ≦δ1だから
|({g(h)-g(0)}/h-g'(0)|<ε/2

|h|<δ≦ε/2だから
|h|<ε/2
だから

|({f(0+h)-f(0)}/h)-g'(0)|
=|{g(h)+h^2sin(1/h)-g(0)}/h-g'(0)|
=|({g(h)-g(0)}/h+hsin(1/h))-g'(0)|
≦|({g(h)-g(0)}/h-g'(0)|+|hsin(1/h)|
≦|({g(h)-g(0)}/h-g'(0)|+|h|
<ε/2+ε/2
=ε
だから

lim_{h→0}{f(0+h)-f(0)}/h=g'(0)
f(x)はx=0で微分可能
↓f'(0)=lim_{h→0}{f(0+h)-f(0)}/h　だから
∴
f'(0)=g'(0)

(3)
あるδ1が存在して
0<|h|<δ1となる任意のhに対して
|{g'(h)-g'(0)}/h|<1
-1<-|{g'(h)-g'(0)}/h|

2|sin(1/h)|≦2
-2≦-2|sin(1/h)|

任意のδ>0に対して
n>1/δ+1/δ1となる自然数nがある
h=1/(2nπ) とすると
1/n<δ
0<|h|=1/(2nπ)<δ/(2π)<δ
0<|h|<δ1だから
-1<-|{g'(h)-g'(0)}/h|

|{f'(h)-f'(0)}/h|
=|{g'(h)+2hsin(1/h)-cos(1/h)-g'(0)}/h|
=|{g'(h)-g'(0)}/h+2sin(1/h)-2nπ|
≧2nπ-|{g'(h)-g'(0)}/h|-2|sin(1/h)|
>2nπ-3
>3

だから
f'(x)はx=0で微分不可能

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/19 03:30

＞ 振動しませんか？

発散を「∞発散」と「振動」に分類する言葉遣いでは、「振動しない」。
日常の日本語の意味で「増加したり減少したりする」という意味では、
「振動しながら」0へ収束する。
数学では、普通、前者の言葉遣いをするんだけどな。

f’(0) = lim[h→0] { f(0+h) - f(0) }/ h
　　= lim[h→0] { g(h) + (h^2)sin(1/h) - g(0) }/h
　　= lim[h→0] { g(h) - g(0) }/h + lim[h→0] h sin(1/h).
h sin(1/h) は、 h が 0 へ近づくと、 正になったり負になったり
非常に目まぐるしく符号を変えるが、 -h ≦ h sin(1/h) ≦ h と
挟まれているので、ハサミウチの定理より 0 へ収束する。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/19 01:15

かっこはきちんとつけるようにしようぜ.

lim [g(h) + h^2 sin (1/h) - g(0)]/h
なら, 条件からきちんと収束する. 「振動しませんか？」というのは, 具体的にはどのようなことを危惧している?