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楕円球体の三重積分が ∫∫∫dxdydz で

積分領域が K={(x,y,z)|(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)≦1}

と、与えられています。

この問題を極座標変換を使って解けと教科書に書いてあるのですが、
x=r(sinθ)(cosφ)
y=r(sinθ)(sinφ)
z=r(sinθ)
というように、変数(r,θ,φ)に変換したときの積分領域K’がわかりません。

θやφについては
 0≦θ≦π
 0≦φ≦2π
になるだろうとなんとなく予想できるのですが、
rに関してはどのような範囲になるか全くわかりません。

どなたか説明も入れてよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

まず極座標のzの式が違います。


x=r(sinθ)(cosφ)
y=r(sinθ)(sinφ)
z=r(cosθ)
変数変換は
x=ra(sinθ)(cosφ)
y=rb(sinθ)(sinφ)
z=rc(cosθ)
とおくと
 0≦θ≦π
 0≦φ≦2π
 0≦r≦1
となります。
ヤコビアン|J|=∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)=abc(r^2)sinθ
V=abc∫[0→2π]dφ∫[0→π]sinθdθ∫[0→1]r^2dr
=2πabc*{cos(0)-cos(π)}*{(1^3)/3}
=2πabc*2*(1/3)=4πabc/3
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この回答へのお礼

なるほど、楕円の場合はそのように置けばいいのですね!
ありがとうございました。

お礼日時:2009/11/19 03:20

A#1の補足ですが


>rに関してはどのような範囲になるか全くわかりません。
rの範囲は
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)≦1

x=ra(sinθ)(cosφ)
y=rb(sinθ)(sinφ)
z=rc(cosθ)
を代入してやると
r^2≦1
が出てきます。
ここで、0≦θ≦π、0≦φ≦2πとするとr≧0で良いので
 0≦r≦1
とrの範囲が出てきます。
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