(sinx)^2 のn次導関数

(sin x)^2（及び、(cosx)^2）のn次導関数を求めよ、という問題が解けません…
解いていくとsin2x,2cos2x,-4sin2x,-8cos2x,,,となって式で一般形にできなくなってしまいます。
初歩的な質問ですみませんが教えて下さい！

No.1 回答者： 0123456789A 回答日時： 2006/01/26 21:41

最初何回かやって法則を見つけて一般式を予想します。

その後数学的帰納法で一般式を証明すればOKです。

でできると思います。
少なくとも(sin x)^2は何回微分してもsin cosの二次の量で
表現できることはわかると思います。
あとは偶数階微分と奇数階微分で場合分けし、係数の増え方なんかに
注目すればすぐに見つかると思います。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
n=2m-1のとき(-1)^(m-1)2^(n-1)(sin2x)
n=2mのとき...
で場合分けするしかないということでしょうか？

補足日時：2006/01/26 22:04

No.2 回答者： colder 回答日時： 2006/01/26 22:17

倍角公式

cos 2x = 1-2(sin x)^2
を使って元の式を変形すると簡単にできると思います。

この回答への補足

すみません、ヒント頂いて申し訳ないんですが、さっぱり分かりません。もうかれこれ３時間以上悩んでます。。。

補足日時：2006/01/27 01:21

No.3 ベストアンサー 回答者： yoikagari 回答日時： 2006/01/27 02:35

(sinx)^2={1-cos(2x)}/2

(cosx)^2={1+cos(2x)}/2ですから

(sin x)^2の導関数と(cosx)^2の導関数はそれぞれsin(2x)、-sin(2x)となることはいいようですね。

実は、sin(x+π/2)=cosxであることに気づけば、(sinx)^2と(cosx)^2のn次導関数は以下のように書けることが数学的帰納法で示せるはずです。
(sinx)^2のn次導関数が2^(n-1)*sin(2x+{(n-1)π}/2)
(cosx)^2のn次導関数が-2^(n-1)*sin(2x+{(n-1)π}/2)

それでは、頑張ってみてください。
分からないところがあれば質問を下さい。

この回答へのお礼

詳細な説明ありがとうございました！

お礼日時：2006/01/27 08:45