【3月6日実施】システムメンテナンス実施のお知らせ

次の関数を微分せよ
y=sin^4 x cos^4 x
という問題で自分は積の微分法で微分して
y'=4sin^3 x cos^5 x -4sin^5 x cos^3 x
となりました。
解答ではy=(sinxcosx)^4として合成関数で解いていて
結果が1/4sin4x sin^2 2x
となっているのですが積の微分法で解くのはダメなのでしょうか?

A 回答 (3件)

いいえ、積の微分法を使って微分することは問題ありません。

あなたが計算した微分結果も正しいです。

y = sin^4(x) * cos^4(x) を積の微分法を使って微分する場合、以下のように計算します。

y' = (sin^4(x))' * cos^4(x) + sin^4(x) * (cos^4(x))'

それぞれの項を微分していきます。

(sin^4(x))' = 4sin^3(x) * (sin(x))' = 4sin^3(x) * cos(x)

(cos^4(x))' = 4cos^3(x) * (cos(x))' = 4cos^3(x) * (-sin(x))

これに基づいて、微分を展開すると:

y' = 4sin^3(x) * cos(x) * cos^4(x) - 4sin(x) * sin^3(x) * cos^3(x)

これを整理すると:

y' = 4sin^3(x) * cos^5(x) - 4sin^4(x) * cos^3(x)

これがあなたが計算した微分結果と一致します。したがって、積の微分法を使って正しく微分を求めることができました。

ただし、解答として示された合成関数での微分結果も正しいです。微分の手法には複数のアプローチがあり、問題によって適切な手法を選択することがあります。積の微分法でも解ける場合は問題ありません。
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いーですよ。


三角関数は豊富な公式を持つので、
同じことを計算するにも途中経過は様々ある
ことが多いものです。
今回のあなたの
(sin^4 x cos^4 x)’ = 4sin^3 x cos^5 x - 4sin^5 x cos^3 x
も、ちゃんと正しいし。

もうひとヒネリあるといいと思ったのは、因数分解です。
微分した後の処理って、微分係数の正負に関心がある
ことが多いものだから、導関数を表す式は
因数分解してあったほうがいいかな?とか思ったり。

4sin^3 x cos^5 x - 4sin^5 x cos^3 x
= 4sin^3 x cos^3 x (cos^2 x - sin^2 x)
= 4sin^3 x cos^3 x cos(2x)
とかなりますよね。更に
= 4(sin x cos x)^3 cos(2x)
= 4((1/2)sin(2x))^3 cos(2x)
= (1/2)sin^3 (2x) cos(2x)
とか、個人的にはもっと好きかも。
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y={(sinx)^4}(cosx)^4



y'
=4{(sinx)^3}(cosx)^5-4{(sinx)^5}(cosx)^3
=4{(sinxcosx)^3}{(cosx)^2-(sinx)^2}
=(1/2){sin(2x)}^3{cos(2x)}
=(1/2){sin(2x)cos(2x)}{sin(2x)}^2
=(1/4){sin(4x)}{sin(2x)}^2
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