微分積分の二重積分についての問題がわからないです。

微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
∬sin n(x+y) dxdy
(D: x+y<=pi, x>=0, y>=0)
自分で解いてみたら、以下のようになりました。
x+y =uとおき、… = 2n pi

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/17 05:45

n>0 とする。

1．
変数変換したら、2変数なので、たとえば
　u=x+y, v=x
のように変換します。 すると、
　x+y=π → u=πの縦線。
　x=0 → v=0 つまり、u軸。
　y=0 → u=x+0=v つまり、v=uの直線。
これらの線で囲まれた3角形の領域になる。

また
　x=u-v, y=v
なのでヤコビアンは
　J=|1 -1|=1
　　 |0 1|

すると
　∬sin n(x+y) dxdy
　=∬sin nu |J| dudv
　=∫[u=0,π]∫[v=0,u] sin nu dudv
　=∫[u=0,π]u sin nu du
　=[u (-cos nu)/n][π,0]-∫[u=0,π] (-cos nu)/n du
　=(-πcos nπ+0)/n+(1/n)[(sin nu)/n][π,0]
　=(-πcos nπ)/n+0
　=-(-1)ⁿπ/n


2.
それよりも、素直にxyの３角形の領域を積分すればよい。
　∫[x=0,π] ∫[y=0,π-x] sin n(x+y)dxdy
　=∫[x=0,π] (1/n)[-cos n(x+y)][π-x,0] dx
　=(1/n)∫[x=0,π] (-cos nπ+cos nx) dx
　=(1/n) { -πcos nπ+(1/n)[sin nx][π,0] }
　=(1/n) { -πcos nπ+0 }
　=-(-1)ⁿπ/n