微分積分の二重積分についての問題がわからないです。

微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。

∬sin(nx)sin(my)dxdy
(D:0<=x<=pi, 0<=y<=pi)

自分で解いてみたら、以下のようになりました。
{ (1-cos(n pi) ) (1-cos(m pi) ) } / (mn)

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/17 04:48

少し足りない。

　A=∬sin(nx)sin(my)dxdy
とする。

n,mを0以上の整数とする。
nm=0のとき、A=0

nm≠0のとき
　A=(1-cosnπ)(1-cosmπ)/nm

n偶数 → cosnπ=1
n奇数 → cosnπ=-1
なので
　A=0 (nまたはmが偶数の時)
　A=4/nm (n,m共に奇数の時)

まとめると
　A=0 (nまたはmが偶数か0の時)
　A=4/nm (n,m共に奇数の時)