積分 1/sin^3x 問題

積分　1/sin^3x　問題

∫{1/(sin x)^3}dxについて

調べた結果、sinx=cos(x-π/2)として、θ=x-π/2と置換する。
∫{1/(cos（x-π/2）)^3}dx
（x-π/2）=θとおくと、dθ/dx＝1よりdθ=dx
∫{1/(cosθ)^3}dθとなります。

あとは、1/cos^3xの積分と同じで、
1/2（sinθ/cos^2θ）+1/4log（1+sinθ/1-sinθ）+C
のθをx-π/2に戻すと、
1/2（sin（x-π/2）/cos^2（x-π/2））+1/4log（1+sin（x-π/2）/1-sin（x-π/2））+C
で答えは合っているのでしょうか？

cos^2（x-π/2）=sin^2xとしなければいけないのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/11 22:37

＞ (-1/sin x)となるのはなぜでしょうか？

ds/dx = (d/dx)cos x = -sin x
だからです。

∫{ 1/(sin x)^3 }dx
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(dx/ds)ds
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(-1/sin x)ds
となります。

置換積分の型どおりですよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

お礼日時：2011/01/13 07:57

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/11 21:33

いけね、間違えた。

s = cos x だから、
(-1/2)s/(1-s^2) + (-1/4)log{(1+s)/(1-s)}
= (-1/2)(cos x)/(sin x)^2 + (-1/4)log{(1 + cos x)/(1 - cos x)}

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/11 21:26

最初に θ = x - π/2 と置換した意味が全く解らない。

単に s = cos x で置換積分すれば済む話だと思う。
∫{ 1/(sin x)^3 }dx
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(-1/sin x)ds
= ∫{ -1/(sin x)^4 }ds
= ∫{ -1/(1 - s^2)^2 }ds
だから、部分分数分解すれば計算できて
= ∫(-1/4){ 1/(1+s)^2 + 1/(1-s)^2 + 1/(1+s) + 1/(1-s) }ds
= (-1/4){ -1/(1+s) + 1/(1-s) + log(1+s) - log(1-s)) } + (積分定数)
= (-1/2)s/(1-s^2) + (-1/4)log{(1+s)/(1-s)} + (積分定数)
= (-1/2)(sin x)/(cos x)^2 + (-1/4)log{(1 + sin x)/(1 - sin x)} + (積分定数)
となる。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
∫{ 1/(sin x)^3 }dx
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(-1/sin x)ds
この式が理解出来ません。
(-1/sin x)となるのはなぜでしょうか？

補足日時：2011/01/11 22:31