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積分 1/sin^3x 問題

∫{1/(sin x)^3}dxについて

調べた結果、sinx=cos(x-π/2)として、θ=x-π/2と置換する。
∫{1/(cos(x-π/2))^3}dx
(x-π/2)=θとおくと、dθ/dx=1よりdθ=dx
∫{1/(cosθ)^3}dθとなります。

あとは、1/cos^3xの積分と同じで、
1/2(sinθ/cos^2θ)+1/4log(1+sinθ/1-sinθ)+C
のθをx-π/2に戻すと、
1/2(sin(x-π/2)/cos^2(x-π/2))+1/4log(1+sin(x-π/2)/1-sin(x-π/2))+C
で答えは合っているのでしょうか?

cos^2(x-π/2)=sin^2xとしなければいけないのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

> (-1/sin x)となるのはなぜでしょうか?



ds/dx = (d/dx)cos x = -sin x
だからです。

∫{ 1/(sin x)^3 }dx
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(dx/ds)ds
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(-1/sin x)ds
となります。

置換積分の型どおりですよ。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

お礼日時:2011/01/13 07:57

いけね、間違えた。

s = cos x だから、
(-1/2)s/(1-s^2) + (-1/4)log{(1+s)/(1-s)}
= (-1/2)(cos x)/(sin x)^2 + (-1/4)log{(1 + cos x)/(1 - cos x)}
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最初に θ = x - π/2 と置換した意味が全く解らない。


単に s = cos x で置換積分すれば済む話だと思う。
∫{ 1/(sin x)^3 }dx
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(-1/sin x)ds
= ∫{ -1/(sin x)^4 }ds
= ∫{ -1/(1 - s^2)^2 }ds
だから、部分分数分解すれば計算できて
= ∫(-1/4){ 1/(1+s)^2 + 1/(1-s)^2 + 1/(1+s) + 1/(1-s) }ds
= (-1/4){ -1/(1+s) + 1/(1-s) + log(1+s) - log(1-s)) } + (積分定数)
= (-1/2)s/(1-s^2) + (-1/4)log{(1+s)/(1-s)} + (積分定数)
= (-1/2)(sin x)/(cos x)^2 + (-1/4)log{(1 + sin x)/(1 - sin x)} + (積分定数)
となる。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
∫{ 1/(sin x)^3 }dx
= ∫{ 1/(sin x)^3 }(-1/sin x)ds
この式が理解出来ません。
(-1/sin x)となるのはなぜでしょうか?

補足日時:2011/01/11 22:31
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