∮(1/(sinx)^3) dx 教えてください

∮(1/(sinx)^3) dx

教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/09/25 13:54

与式=∫{1/(sinxsin²x)}dx

=∫{(1/sinx)(-1/tanx)'}dx
=(1/sinx)(-1/tanx)-∫{(1/sinx)’(-1/tanx)}dx・・・部分積分
=-1/(sinxtanx)+∫{(cosx/sin²x)(-1/tanx)}dx
=-1/(sinxtanx)ｰ∫(cos²x/sin³x)dx
=-1/(sinxtanx)ｰ∫{(1-sin²x)/sin³x}dx
=-1/(sinxtanx)ｰ∫(1/sin³x)dx+∫(1/sinx)dx
また
∫(1/sinx)dx=∫(sinx/sin²x)dx
=∫(sinx/(1-cosx²))dx
cosx=tとおくと
-sinxdx=dt
∫(sinx/(1-cos²x))dx=∫1/(t²-1)dt
=(1/2)∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=(1/2)(log|t-1|-log|t+1|)+ｃ
=(1/2)(log|cosx-1|-log|cosx+1|)+ｃ
=(1/2){log|(cosx-1)/(cosx+1)|}+ｃ
=(-1/2){log(cosx-1)/(cosx+1)}+ｃ


∴∫(1/sin³x)dx=(-1/2)[1/(sinxtanx)+(1/2){log(cosx-1)/(cosx+1)}]+C
後はご自分でもう少しきれいな形にしても良いです。
面倒な計算なので、この解答にはミスがあるかも
ご自分で計算チェックしてみてください。