数学の極限問題

lim(x→+0)(log(1-x))^(sin(x^2)/sinx)
この問題の解き方を教えてほしいです。

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/18 17:19

x→+0

だからxは正の無限小
0<x
-x<0
1-x<1
log(1-x)<0
だから
底が負の指数
(log(1-x))^(sin(x^2)/sinx)
は
実数の範囲で定義できない

log{(log(1-x))^(sin(x^2)/sinx)}
=log{(-|log(1-x)|)^(sin(x^2)/sinx)}
=log{(|log(1-x)|e^{i(2n+1)π})^(sin(x^2)/sinx)}
=(sin(x^2)/sinx){log|log(1-x)|+i(2n+1)π}

lim(x→+0)(log(1-x))^(sin(x^2)/sinx)
=lim(x→+0)e^[(sin(x^2)/sinx){log|log(1-x)|+i(2n+1)π}]

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/18 17:15

x→+0

だからxは正の無限小
0<x
-x<0
1-x<1
log(1-x)<0
だから
底が負の指数
(log(1-x))^(sin(x^2)/sinx)
は
実数の範囲で定義できない

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/18 16:46

1＞x＞0のときlog(1-x)＜0 だから、limのナカミは「負の数の実数乗」であり、実数の範囲では扱えないってことに要注意ですね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/18 16:18

lim f(x)^g(x) の形を見たら、

lim f(x)^g(x) = lim e^log( f(x)^g(x) ) = e^( lim g(x) log f(x) )
の変形がいいんじゃないかと思う。

lim[x→+0] (log(1-x))^(sin(x^2)/sinx)
= e^( lim[x→+0] (sin(x^2)/sinx) log(1-x) )
になるが、
lim[x→+0] (sin(x^2)/sinx) log(1-x)
= lim[x→+0] ( sin(x^2)/x^2 )( x/sinx ) x log(1-x)
= 1・1・0・0
=0
より
lim[x→+0] (log(1-x))^(sin(x^2)/sinx) = e^0 = 1.