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広義積分の計算なのですが、
∫[0~1] logx dx
これはどうして
=lim[ε→+0] ∫[ε〜1] log x dx
=lim[ε→+0] [xlog x-x] (ε〜1)
=lim[ε→+0] {-1-εlog ε+ε}
=-1
とε→+0になるのですか?

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A 回答 (3件)

> ε→+0


これがなぜ ε→0 でないか? という意味なら log x の定義域が x>0 だから。
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不定積分 ∫ log x dxは部分積分 ∫f'g dx=[fg]- ∫fg' dxを用いて求めることができる。


ここにf'=1,g=logxとする。f=x,g'=1/xゆえ

∫ log x dx=[xlogx]-∫x(1/x)dx=[xlogx]-∫1dx=xlogx-x

log xはx→0で-∞となるので問題の計算を広義積分で扱う。

∫[0~1] logx dx
=lim[ε→+0] ∫[ε〜1] log x dx
=lim[ε→+0] [xlog x-x] (ε〜1)
=lim[ε→+0][(1log1-1)-(εlog ε-ε)]
=lim[ε→+0][ε-εlog ε-1]
=-1
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ほかに方法があるんでしょうか?

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確か

∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確かめよ

という問題がわかりません。

判定法定理とロピタルの定理よりx^1.5logx/(1+x^2)がx=∞で有界であることを示せました。

ですが、x=0のときどうやってもx^λlogx/(1+x^2) (λ<1)が有界であることを示せません。

僕の予想ではλ=0.5となると思うんですがロピタルを使っても有界になりません。

なおこの広義積分は必ず収束します。

誰か教えてください。

おねがいします。

Aベストアンサー

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1~n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n~m]f(x)dx|
=|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε

∫[1~∞]f(x)dxは収束する

∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ

∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy

|∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx|
=|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1~∞]f(x)dx|<ε

lim_{c→+0}∫[c~1]f(x)dx=-∫[1~∞]f(x)dx

∫[+0~∞]f(x)dx=0

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1~n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n~m]f(x)dx|
=|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε

∫[1~∞]f(x)dxは収束する

∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ

∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy

|∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx|
=|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1...続きを読む

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qn次導関数の求め方

x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q∫[2、∞] dx/logx の発散・収束の判定

∫[2~∞]のdx/logxの発散・収束はどのようにしてわかるのでしょうか?
その判断の仕方と、答えを教えて下さい。

Aベストアンサー

まず広義積分の基本を復習しましょう。
今回のような範囲での積分は本来は定義されないので、普通は
  ∫[2~∞]{1/log(x)}dx = lim[t→∞]{∫[2~t]{1/log(x)}dx}
と極限を用いて定義します。
定積分を計算した後、右辺の極限が存在すれば収束、存在しなければ発散です。

ですが今回、定積分の計算も簡単にはできないので、題意の積分を下から評価します。

x≧2において常に
  0 < 1/(x*log(x)) < 1/log(x)
より
  ∫[2~∞]{1/(x*log(x))}dx < ∫[2~∞]{1/log(x)}dx

左辺の積分は
  ∫{1/(x*log(x))}dx = log(log(x)) +C

と実行できます。
左辺の定積分を計算してもらえばわかると思いますが、左辺は正の無限大に発散します。
よって題意の積分が下から評価できて発散することがわかったので、∫[2~∞]{1/log(x)}dxは∞に発散とわかります。

Q広義積分の問題です。。。

広義積分の問題です。。。
∫(0~1)logx/x^a dx (ただしaは実数でa≠1)を求める問題です。

部分積分して1/(-a+1)[(logx-1)/x^(a-1)](0~1)
というところまでいき
a<1とa>1にして考えましたが
∞×0が出てきてしまい八方塞がりな状況です。
教えていただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

NO1の者です。No2様ご指摘のように,誤っていました m( )m
部分積分のところから???でした。

∫logx/x^a dx
=∫x^(-a)・log(x) dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-∫x^(-a)/(1-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-x^(1-a)/(1-a)^2
=x^(1-a)/(1-a)^2・{(1-a)log(x)-1}

よって、
I=0-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2
=-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2

A=lim[x→0]x^(1-a)log(x)=lim[x→0]{log(x)/x^(a-1)} は、
分子→-∞で、
分母は、a<1のとき分母→+∞、a>1のとき分母→+0

よって、まずa>1のときA→-∞ 即ちI→-∞(発散)
次にa<1のときロピタルの定理を用い,
A=lim[x→+0]{(1/x)/((a-1)x^(a-2))}
=-lim[x→+0]{x^(1-a)/(1-a)}=0
即ちI=-1/(1-a)・0-1/(1-a)^2=-1/(1-a)^2

NO1の者です。No2様ご指摘のように,誤っていました m( )m
部分積分のところから???でした。

∫logx/x^a dx
=∫x^(-a)・log(x) dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-∫x^(-a)/(1-a)dx
=x^(1-a)/(1-a)・log(x)-x^(1-a)/(1-a)^2
=x^(1-a)/(1-a)^2・{(1-a)log(x)-1}

よって、
I=0-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2
=-1/(1-a)・lim[x→0]x^(1-a)log(x)-1/(1-a)^2

A=lim[x→0]x^(1-a)log(x)=lim[x→0]{log(x)/x^(a-1)} は、
分子→-∞で、
分母は、a<1のとき分母→+∞、a>1のとき分母→+0

よって、まずa>1のときA→-∞ 即...続きを読む

Q文頭の「また」や「あと」などの表現はどういう?

たとえば、英語で
「この語はどのように発音しますか?また、どのようなときに使うのですか?」
というような質問をしたい時、2つめの文頭の「また」(もしくは「あと」「それと」など)は英語でどのように表現するのでしょうか?
私の感覚だと、文頭にAndとかAlsoをおいて「And (Also), when is it used?」みたいな感じになるのですが、これはなにかおかしい気がします。

Aベストアンサー

No.2です。ごめんなさい、「文頭の」というご質問だったんですね。

ご参考までに、会話だとかカジュアルな文の文頭ならAndが来て構わないのですが、きちんと書く場合には文頭にAndとかButとか来ないほうが良いとされています。

http://homepage3.nifty.com/MIL/butand.html

http://www.eigo-nikki.com/article/13292266.html

Q積分の問題

∫1/logx dx この積分ってどうやってやりますか?
詳しい方法をお願いします。

Aベストアンサー

定積分ではないので少し違うかもしれませんが、対数積分と呼ばれるものです。

下記URLを参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86