ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動

ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動関数の一回微分の連続性」を示すとき、シュレディンガー方程式の二回微分の項を積分すると、

∫[a-ε→a+ε](d^2φ/dx^2)dx
= ∫[a-ε→a](d^2φ1/dx^2)dx
+ ∫[a→a+ε](d^2φ2/dx^2)dx
=dφ1(a)/dx-dφ1(a-ε)/dx+dφ2(a+ε)/dx-dφ2(a)/dx

かと思ったのですが、調べると積分を分割せず、計算結果は1項目と4項目がありませんでした。なぜ分けなくていいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2023/06/04 21:47

大変なのであまり正確な書き方はしませんが、

分けなくて良いというより、貴方が連続関数を前提とした式変形をしているから正しい結果になってないのです。

例えば、
>右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする
としたとき(※通常書く図だと積分で書かれている式と左右が逆にみえるので、式の方に合わせます)

この波動関数の導関数を
x<a でφ1(x), a<xでφ2(x)
であるような関数、とするのがそもそもの誤りです。

x<a でφ1(x), a<xでφ2(x)である事に間違いはないのだけど、x=aでφが不連続であるのなら、その導関数はx=aで発散します。形式的にはδ関数を付け足す事で表現されます。

二階微分についても同様で、a-εからa+εまで積分した時には、こうやって出てきた項の積分もきちんと評価する事が必要です。

お手持ちの文献に具体的にどう書かれているのかはよく分かりませんが、
最初と最後だけを見れば、不連続である事を気にせずに微積分学の基本定理を適用してよくなるようにδ関数などを導入しているだけではあるので、
数学的な話に深入りしたくないのなら、不連続なんて事は気にせず微積分学の基本定理を適用するという認識で大概は問題ないはず。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/04 15:02

「示すとき」というところが誤り。

誤解なさっているんでしょう。
　「φが具体的に天下りで与えられたときに、φが境界条件を満たすことを示す」ということをやっているのではない。ここでは、（まだ未知の）φを決定しようとしているんでしょう。そのために、境界条件を満たすようなφだけを考える。だから、「一回微分の連続性」を満たすような、言い換えれば、
　　dφ1(a)/dx=dφ2(a)/dx
が成り立つような、そういうφだけが、ここでの考察の対象です。