数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ

数学III 積分

数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが
b=0の時どのように考えれば良いのかわかりません

例) ∮(4x+2)dxのときは =1/8×(4x+2)^2+C だと思いますが
　① ∮4x dx のときは =1/4×1/2x^2+C
=1/8×x^2+C
このように計算すると②の解答と答えが異なってしまいます①の解答はどこのやり方がおかしいのですか
　② ∮4x dx=4∮x=4×1/2×x^2
=2x^2
　
なぜこの方法で答えが合わないのか説明お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/30 14:22

②が正しい。

①の右辺先頭の 1/4 は、おそらく
4x = t での置換積分に由来するものだろうから、
それをやるなら
∫4x dx = (1/4)・(1/2)(4x)^2+C
　　　　= 2x^2+C.
じゃないとオカシイ。
ピンとこなかったら、置換積分を明示的に書いてごらん。
∫4x dx = ∫t (dt/4)
　　　　= (1/4)∫t dt
　　　　= (1/4)・(1/2)t^2+C
　　　　= (1/4)・(1/2)(4x)^2+C
　　　　= 2x^2+C.

この回答へのお礼

みなさんわかりやすかったです！
ありがとうございました！

お礼日時：2022/10/01 19:28

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/09/30 11:22

なんで？　単純に、

∫f(x)dx=∫(ax+b)dx=∫axdx+∫bdx=(a/2)x²+bx+C で良いのでは。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/30 10:09

なんか、考え違いをしているような。

f(x) = ax + b　　　①

と

f(t) = at + b の t に t=ax + b を代入するのとでは、意味が違いますよ？

実際に f(t) = at + b の t に t=ax + b を代入すれば
　f(ax + b) = a(ax + b) + b
になりますから。


＞例) ∮(4x+2)dxのときは =1/8×(4x+2)^2+C だと思いますが

違います。
単純に「x の多項式の積分」ですから
　∫(x^n)dx = [1/(n + 1)] x^(n + 1) + C
の公式を使って
　∫(4x + 2)dx = 2x^2 + 2x + C
です。

もし、
　t = 4x + 2　　　　②
とおいて、
　∫tdt　　　③
を計算したいのなら、
　∫tdt = (1/2)t^2 + C　　　④
に②を代入して
　(1/2)(4x + 2)^2 + C　　　　⑤
ですが、これは④のように「t で積分した」ものであって、「x で積分した」ものとは違います。

微分・積分は、「どの変数で」微分・積分するのかが大事です。

もし、③を、②と置換して「x で積分」することで求めたいのなら
②より
　dt/dx = 4　　　⑥
として
　∫tdt = ∫(4x + 2)(dt/dx)dx = 4∫(4x + 2)dx
　　　= 4(2x^2 + 2x) + C2
　　　= 8x^2 + 8x + C2
で、⑤で求めた
　(1/2)(4x + 2)^2 + C = 8x^2 + 8x + 2 + C
の定数を
　2 + C = C2
と書けば一致します。

変数を「t → x」と置換することで、「置換積分」の式を使うことになります。

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2022/09/30 09:55

①はf(4X)の不定積分

∫f(4x)dx＝(1/4)∫f(t)dt
※t=4x（+b）とするとdt/dx=4なので、dx＝(1/4)dtとなる。
②はただ単に、f(x)＝4xの不定積分をしているだけですね。
∫f(x)dx＝∫4xdx=2x^2（+c)