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数学III 積分

数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが
b=0の時どのように考えれば良いのかわかりません

例) ∮(4x+2)dxのときは =1/8×(4x+2)^2+C だと思いますが
 ① ∮4x dx のときは =1/4×1/2x^2+C
=1/8×x^2+C
このように計算すると②の解答と答えが異なってしまいます①の解答はどこのやり方がおかしいのですか
 ② ∮4x dx=4∮x=4×1/2×x^2
=2x^2
 
なぜこの方法で答えが合わないのか説明お願いします。

A 回答 (4件)

②が正しい。


①の右辺先頭の 1/4 は、おそらく
4x = t での置換積分に由来するものだろうから、
それをやるなら
∫4x dx = (1/4)・(1/2)(4x)^2+C
    = 2x^2+C.
じゃないとオカシイ。
ピンとこなかったら、置換積分を明示的に書いてごらん。
∫4x dx = ∫t (dt/4)
    = (1/4)∫t dt
    = (1/4)・(1/2)t^2+C
    = (1/4)・(1/2)(4x)^2+C
    = 2x^2+C.
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この回答へのお礼

みなさんわかりやすかったです!
ありがとうございました!

お礼日時:2022/10/01 19:28

なんで? 単純に、


∫f(x)dx=∫(ax+b)dx=∫axdx+∫bdx=(a/2)x²+bx+C で良いのでは。
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なんか、考え違いをしているような。



f(x) = ax + b   ①



f(t) = at + b の t に t=ax + b を代入するのとでは、意味が違いますよ?

実際に f(t) = at + b の t に t=ax + b を代入すれば
 f(ax + b) = a(ax + b) + b
になりますから。


>例) ∮(4x+2)dxのときは =1/8×(4x+2)^2+C だと思いますが

違います。
単純に「x の多項式の積分」ですから
 ∫(x^n)dx = [1/(n + 1)] x^(n + 1) + C
の公式を使って
 ∫(4x + 2)dx = 2x^2 + 2x + C
です。

もし、
 t = 4x + 2    ②
とおいて、
 ∫tdt   ③
を計算したいのなら、
 ∫tdt = (1/2)t^2 + C   ④
に②を代入して
 (1/2)(4x + 2)^2 + C    ⑤
ですが、これは④のように「t で積分した」ものであって、「x で積分した」ものとは違います。

微分・積分は、「どの変数で」微分・積分するのかが大事です。

もし、③を、②と置換して「x で積分」することで求めたいのなら
②より
 dt/dx = 4   ⑥
として
 ∫tdt = ∫(4x + 2)(dt/dx)dx = 4∫(4x + 2)dx
   = 4(2x^2 + 2x) + C2
   = 8x^2 + 8x + C2
で、⑤で求めた
 (1/2)(4x + 2)^2 + C = 8x^2 + 8x + 2 + C
の定数を
 2 + C = C2
と書けば一致します。

変数を「t → x」と置換することで、「置換積分」の式を使うことになります。
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①はf(4X)の不定積分


∫f(4x)dx=(1/4)∫f(t)dt
※t=4x(+b)とするとdt/dx=4なので、dx=(1/4)dtとなる。
②はただ単に、f(x)=4xの不定積分をしているだけですね。
∫f(x)dx=∫4xdx=2x^2(+c)
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