f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、 ∫ -(2y)/(x^2 +

f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、

∫ -(2y)/(x^2 + y^2) dx
= -2 ∫1/(y^2 (x^2/y^2 + 1)) dx
u = x/y として、 du = 1/y dxより、
= -2 ∫1/(u^2 + 1) du
= -2arctan(u) + c
= -2arctan(x/y) + c

という解が得られますが、積分の仕方を以下のように変えると、答えが変わってしまいます。

∫ -(2y)/(x^2 + y^2) dx
= ∫-2y/x^2・1/(1 + y^2/x^2) dx
y/x=t とすると、
=∫-2y/x^2・x^2/-y・1/(1 + t^2)dt
=∫2/(1 + t^2)dt
=2arctan(t) + c
=2arctan(y/x) + c

どちらのやり方も正しいと思うのですが、何故結果が変わるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/12 20:36

arctan(x)+arctan(1/x)=±π/2 (x>0のとき+、x<0のときー)

だから、どちらも正しい。

なお、始めの積分は途中式が誤り(結果は正しい)。

この回答へのお礼

なるほど、理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2023/06/12 21:17

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/12 20:27

ん? 同じでしょ?