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∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2
よって
∫x^2√(4-x^2)dx=1/4{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}

となりました。途中式・解答はあってますか?よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

1行目の第2項の積分の中の「√(4-x^2)」に微分記号が抜けています.


でも,2行目でしっかり微分されているので,OKです.
4行目の第3項に記号∫が抜けていますが,5行目でしっかり積分されているのでOK!
後は合っていますが,最後の答えの中に
  ∫(4√(4-x^2)dx
が残っており,まだ積分の計算は完了していません.
  ∫(4√(4-x^2)dx
の積分は,x = 2sint と置き換えて積分すれば
  ∫(4√(4-x^2)dx = 4 * (1/2){x√(4 - x^2) + 4sin^-1x/2}
が求められますので,計算してみてください.
上記とあわせると,答えは
 ∫x^2√(4-x^2)dx = (1/4)x^3√(4-x^2) - (1/2)x√(4 - x^2) + 2sin^-1x/2
となるはずです.
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この回答へのお礼

大変参考になりました。もう一度計算してみます。

お礼日時:2008/10/13 09:45

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gooドクター

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