積分

締切済

質問者：hannaaaaa
質問日時：2011/06/19 16:03
回答数：5件

受験生です
∫√(x^2-4)dx

ルート(Ｘの二乗)－４
の積分がわかりません。

答えまででなくとも、やり方だけでも大丈夫です
どうかよろしくお願いします

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (5件)

最新から表示
回答順に表示

No.5

回答者： nag0720
回答日時：2011/06/20 20:18

＃２です。

x=2/cost　としたのは、
＃３さんの回答の、y=√(x^2-4) と　y=2tanθ　を合わせたものです。
2tanθ=√(x^2-4)
x^2=(2tanθ)^2+4=4/cos^2θ
x=2/cosθ

それより、＃２の回答が間違ってました。
(sint/cos^2t)'=1/cost+sin^2t/cos^3t
でした。

1/cost　の積分は、
1/cost=cost/cos^2t=cost/(1-sin^2t)=(1/2){cost/(1+sint)+cost/(1-sint)}
より、
∫(1/cost)dt=(1/2){log(1+sint)-log(1-sint)}
となります。

- 2
- 件

通報する

No.4

回答者： info22_
回答日時：2011/06/20 17:36

∫√(x^2-4)dx=∫(x^2-4)/√(x^2-4)dx

=∫(x^2-2-2)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx -∫2/√(x^2-4)dx
=I1 + I2
ここで
{x√(x^2-4)}'=√(x^2-4) +(x^2)/√(x^2-4)=2(x^2-2)/√(x^2-2)
I1=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx =(1/2)x√(x^2-4)+C1

{log|x+√(x^2-4)|}'={1+x/√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}=1/√(x^2-4)
I2=-∫2/√(x^2-4)dx
=-2log|x+√(x^2-4)|+C2

∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-4) -2log|x+√(x^2-4)|+C (C=C1+C2,積分定数)

- 0
- 件

通報する

No.3

回答者： alice_44
回答日時：2011/06/19 22:47

y = √(x^2-4) と置いてみましょう。

dy/dx = {(1/2)(x^2-4)^(^1/2)}(2x) = x/y より、
∫√(x^2-4)dx = ∫y dx = ∫x dy = ∫±√(y^2+4)dy です。
最右辺の積分が y = 2 tanθ で置換積分できることは、
有名な公式かと思います。

- 1
- 件

通報する

この回答へのお礼

ありがとうございます。
はい。tanやSinを使った置き換えは私も学校で教わりました。最初にこの問題を見たとき、ルートの中の式が二乗と二乗だったので私もこの公式だと思い友人と、Alice４４さんの様に解いたのですが上手くいきませんでした…。

通報する

お礼日時：2011/06/20 18:11

No.2

回答者： nag0720
回答日時：2011/06/19 17:08

x=2/cost

とおくと、
dx=2sint/cos^2t dt

∫√(x^2-4)dx
=∫√((2/cost)^2-4)2sint/cos^2t dt
=4∫(sin^2t/cos^3t)dt

あとは、
(sint/cos^2t)'=1/cos^2t+sin^2t/cos^3t
を利用して部分積分を適用すれば解けるはずです。