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受験生です
∫√(x^2-4)dx

ルート(Xの二乗)-4
の積分がわかりません。

答えまででなくとも、やり方だけでも大丈夫です
どうかよろしくお願いします

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

#2です。



x=2/cost としたのは、
#3さんの回答の、y=√(x^2-4) と y=2tanθ を合わせたものです。
2tanθ=√(x^2-4)
x^2=(2tanθ)^2+4=4/cos^2θ
x=2/cosθ


それより、#2の回答が間違ってました。
(sint/cos^2t)'=1/cost+sin^2t/cos^3t
でした。


1/cost の積分は、
1/cost=cost/cos^2t=cost/(1-sin^2t)=(1/2){cost/(1+sint)+cost/(1-sint)}
より、
∫(1/cost)dt=(1/2){log(1+sint)-log(1-sint)}
となります。
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∫√(x^2-4)dx=∫(x^2-4)/√(x^2-4)dx


=∫(x^2-2-2)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx -∫2/√(x^2-4)dx
=I1 + I2
ここで
{x√(x^2-4)}'=√(x^2-4) +(x^2)/√(x^2-4)=2(x^2-2)/√(x^2-2)
I1=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx =(1/2)x√(x^2-4)+C1

{log|x+√(x^2-4)|}'={1+x/√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}=1/√(x^2-4)
I2=-∫2/√(x^2-4)dx
=-2log|x+√(x^2-4)|+C2

∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-4) -2log|x+√(x^2-4)|+C (C=C1+C2,積分定数)
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y = √(x^2-4) と置いてみましょう。


dy/dx = {(1/2)(x^2-4)^(^1/2)}(2x) = x/y より、
∫√(x^2-4)dx = ∫y dx = ∫x dy = ∫±√(y^2+4)dy です。
最右辺の積分が y = 2 tanθ で置換積分できることは、
有名な公式かと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
はい。tanやSinを使った置き換えは私も学校で教わりました。最初にこの問題を見たとき、ルートの中の式が二乗と二乗だったので私もこの公式だと思い友人と、Alice44さんの様に解いたのですが上手くいきませんでした…。

お礼日時:2011/06/20 18:11

x=2/cost


とおくと、
dx=2sint/cos^2t dt

∫√(x^2-4)dx
=∫√((2/cost)^2-4)2sint/cos^2t dt
=4∫(sin^2t/cos^3t)dt

あとは、
(sint/cos^2t)'=1/cos^2t+sin^2t/cos^3t
を利用して部分積分を適用すれば解けるはずです。
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この回答へのお礼

なるほど…
たしかにできそうです。それにしても、最初の一歩の置換のひらめきがハイレベルですね…
(((;゜;Д;゜;)))

お礼日時:2011/06/20 18:03

初等関数の範囲では積分不能です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
初等関数について調べてみましたが、この場合も初等関数に当て嵌まるのかイマイチわからないのでもうしばらく考えてみます。

お礼日時:2011/06/20 18:00

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