複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす。 zの偏角をθとするとき、 (1)z+z^2+z^3+z^4

複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす。
zの偏角をθとするとき、

(1)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6は？

(2)cosθ+cos2θ+cos4θは？

解き方を教えてください。

No.7 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/12/19 13:36

(1)の問題、よく見ると “1+” で始まってないんだね。

z⁷=1
z⁷-1=0
(z-1)(1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶)=0
z≠1 なので
1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=0
z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=-1

(2)
cosθ+cos2θ+cos4θ=x
とおくと
cos7θ=1 となることから
cos6θ=cosθ
cos5θ=cos2θ
cos3θ=cos4θ
cos6θ+cos5θ+cos3θ=x
cosθ+cos2θ+cos3θ+cos4θ+cos5θ+cos6θ=2x
この式は (1) の式の実数部であるから
2x=-1
x=-1/2

No.6 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/18 06:45

(1)の答えを0と書きましたが

よく考えてみるとこれは間違いです。
答えは-1だと思います。
(2)の答えは(1)の答えの1/2です。ド・モアブルの定理と高校で習う三角関数の公式を利用してそれを示すことが出来る筈です。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/12/18 01:46

(1) について #1 と #2 は矛盾しているので, 少なくとも一方は間違ってるんだけどね＞#3. もちろん θ は π/3 でも 2π/3 でも 4π/3 でもない.

(2) は #2 の方針でいける.

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/17 23:52

ANo.3です。

すみません、訂正があります。

1+z^3=0だと、
z^3=-1
z^6=(z^3)^2=(-1)^2=1
z^7=z^6 * z=z

となり、z^7=1かつz≠1を満たさなくなるため、1+z^3=0は不適になります。
よって、

cosθ+cos2θ+cos4θ=-3/2（θ=2π/3またはθ=4π/3のとき）

になります。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/17 23:05

(1)についてはNo.1、No.2の方の回答の通りですので省略します。

(2)について書きます。
z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0
z(1+z+z^2)+z^4(1+z+z^2)=0
(z+z^4)(1+z+z^2)=0
z(1+z^3)(1+z+z^2)=0

z=cosθ+i sinθ(0≦θ<2π)とすると、

z^2=(cosθ+i sinθ)^2
=(cosθ)^2-(sinθ)^2 + 2i sinθcosθ
=cos2θ+i sin2θ

z^3=z^2 * z
=(cos2θ+i sin2θ)(cosθ+i sinθ)
=cos2θcosθ-sin2θsinθ+i(cos2θsinθ+sin2θcosθ)
=cos3θ+i sin3θ

ここで、1+z^3=0とすると、
1+cos3θ+i sin3θ=0
cos3θ=-1
sin3θ=0
3θ=π
θ=π/3で条件を満たす。よって、
cosθ+cos2θ+cos4θ
=cos(π/3)+cos(2π/3)+cos(4π/3)
=(1/2)+(-1/2)+(-1/2)
=-1/2

同様に、1+z+z^2=0とすると、
1+cosθ+i sinθ+cos2θ+i sin2θ=0
1+cosθ+cos2θ+i(sinθ+sin2θ)=0
cosθ+cos2θ=-1
sinθ+sin2θ=0

cosθ+cos2θ+1=0
cosθ+(cosθ)^2-(sinθ)^2+1=0
2(cosθ)^2 + cosθ=0
cosθ(2cosθ+1)=0

cosθ=0と仮定すると、
θ=π/2, 3π/2
θ=π/2のとき、sinθ+sin2θ=sin(π/2)+sinπ=1となり不適。
θ=3π/2のとき、sinθ+sin2θ=sin(3π/2)+sin3π=-1となり不適。

2cosθ+1=0と仮定すると、
cosθ=-1/2
θ=2π/3, 4π/3
θ=2π/3のとき、sinθ+sin2θ=sin(2π/3)+sin(4π/3)=0で条件を満たす。よって、
cosθ+cos2θ+cos4θ
=cos(2π/3)+cos(4π/3)+cos(8π/3)
=(-1/2)+(-1/2)+(-1/2)
=-3/2

θ=4π/3のとき、sinθ+sin2θ=sin(4π/3)+sin(8π/3)=0で条件を満たす。よって、
cosθ+cos2θ+cos4θ
=cos(4π/3)+cos(8π/3)+cos(16π/3)
=(-1/2)+(-1/2)+(-1/2)
=-3/2

ゆえに、
cosθ+cos2θ+cos4θ=-1/2（θ=π/3のとき）
cosθ+cos2θ+cos4θ=-3/2（θ=2π/3またはθ=4π/3のとき）

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/16 22:18

問題の条件より

z^7 -1 = 0
である。
左辺は因数分解出来て、その結果とz≠1を踏まえると(1)の答えは0
(2)はきっちりかっちりと解いた訳ではないけれど(1)の答えと4θ=7θ-3θ,2θ=7θ-5θ,θ=7θ-6θであること、7θ=2nπであること、を利用すれば解けるのではないのかなぁ、と思います。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/12/16 22:07

とりあえず(1)は、

z⁷=1
z⁷-1=0
因数分解して、
(z-1)(z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+1)=0
z≠1より、z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+1=0