A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
A No.1 の記号で、
A = 扇形の面積 - 二等辺三角形の面積
= (r^2)(θ/2) - (r sin(θ/2))(r cos(θ/2))
= (1/2)(r^2)(θ - sinθ). ←[1]
h = 半径 - 二等辺三角形の高さ
= r - r cos(θ/2).
です。
方程式 [1] を解いて h の値を求めればよいのですが、
[1] から θ を消去して h の方程式にすると
逆三角関数が式に入ることになるので、容易には解けません。
解析解は無理で、数値算法で近似値を出すしかなかろう
と思います。
[1] をニュートン法で解いて、一旦 θ を求めるのが
よろしいかと。
No.1
- 回答日時:
求める高さをhとします.
扇形の面積A-(2辺の長さがともにrの二等辺三角形の面積)
弧の両端を結ぶ線分の長さをc,
扇形の角度をθとします.
A=(1/2){ rl - c(r-h) }
c = 2√{h(2r-h)}
c^2 = 4h^2(2r-h^2)
r = (c^2 + 4h^2)/(8h)
l=rθより,
θ=l/r
また,
A=πr^2(2π/θ)
θ=2π^2/A
よって,
l/r=2π^2/A
l={2(π^2) r}/A
2A = r{2(π^2) r/A} - c(r - h)
h +r = 2A - r{2(π^2) r/A}/c
h = 2A - r{2(π^2) r/A}/c - r
三角形の面積=r*(rsinθ)/2 ...(1)
余弦定理より,
c^2 = r^2 + r^2 -2(r^2)cosθ
c^2 = r^2(1-2cosθ) ...(2)
三角形の面積=c*(r-h)/2 ...(3)
(1)=(3)より,
{(r^2)sinθ}^2= {c*(r-h)}^2
r^4 sinθ^2 = c^2 (r^2 -2rh +h^2)
r^4 sinθ^2=r^2(1-2cosθ)(r^2 -2rh +h^2)
r^2sinθ^2 = (1-2cosθ)(r^2-2rh+h^2)
r^2(1-cosθ^2)=(1-2cosθ)(r-h)^2
r^2cosθ^2 -2(r-h)^2cosθ-r^2+(r-h)^2=0
r^2cosθ^2 -2(r-h)^2cosθ+h^2 -2rh = 0
cosθ={(r-h)^2±√(r-h)^4-r^2(h^2 -2rh)}/r^2 ...(4)
2A = r{2(π^2) r/A} - c(r - h) ...(5)
(2),(4),(5)より,
hが出ます.
気の遠くなるような計算式になるので,ここで止めます.
もっと簡単に出せる方法もあるのでしょうが,思い付きません.
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