微分積分の図形についての問題がわからないです。

微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。

扇形について半径r, 内角θ(0<=θ<=2π)としたときに、周の長さ、面積、周の長さを一定とする場合、面積が最大になる条件を求めてください。ちなみに、周と面積は自分でといてみてそれぞれ∫(0→θ)sqrt(r^2+(dr/dθ)^2)dθとr^2*θ/2になってのでこの確認もしてほしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/14 16:28

面積 S=r²θ/2

周長 L=2r+rθ=r(2+θ) → r=L/(2+θ)

S=(L²/2)θ/(2+θ)²
S'=(L²/2){(2+θ)²-θ2(2+θ)}/(2+θ)⁴=(L²/2)(4-θ²)/(2+θ)⁴

S'=0 → θ²=4 → θ=2
S'の増減表から、θ=2は極大とわかる。

S(2)=L²/16=0.0625L²
S(0)=0, S(2π)=L²π/(2+2π)²≒0.0458L²

したがって、θ=2 の時、最大。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/14 14:57

周の長さ、面積、周の長さを一定とする場合？

面積を一定としたのなら、面積が最大になる条件は特に無いけど。