重積分を使って重心を求める問題

２次元平面上の直交座標系をｘ、ｙとし、原点から点（a,b)までの距離をｒ、原点と点(a,b)を結ぶ直線とｘ軸の正の方向とがなす角度を反時計回りの孤度法ではかった角度をθとする。
このとき曲線
r=a(1+cosθ) a>0
によって囲まれる領域の重心のｘ座標を求めよ
という問題なんですが

まずr=a(1+cosθ)によって囲まれる面積を求めてそのあと二重積分を使って求めるということはわかるのですがr=a(1+cosθ)によって囲まれる面積の出し方がわかりません？
面積を求める方法を教えてくれませんか？

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/04/26 01:27

>S=2∫[0→π]｛∫[0→1+cosθ]rdr｝dθ=3π/2

これは、二次元の極座標での面積の積分そのものですから、この式以上説明しろと言われても困難でしょう。質問者さんが極座標上の面積の積分を勉強しなおされた方がいいと思います。
XY座標系では面積素はdxdyです。∬_D dxdyがXY平面での領域Dの面積です。

極座標(r,θ）系の面積素はrdrdθです。∬_Drdrdθが極座標平面での領域Dの面積です。
これ以上説明のしようがありません。これは面積積分の定義のようなものですから、これはこのまま覚えてもらうしかないですね。
言い換えれば、質問者さんの不勉強が故のレベルの低い質問といえます。

極座標や極座標平面での面積積分について教科書や参考書の最初から復習される事をお勧めします。

この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/04/26 03:18

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/04/24 02:47

カージオイド曲線といいます。

過去の質問に解答を書きましたので参考にして下さい。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3604688.html

この回答への補足

返事が遅れってしまってすいません。
参考にさせてもらいました。
しかしなぜS=2∫[0→π]｛∫[0→1+cosθ]rdr｝dθ=3π/2
になるのかわかりません。
なぜこの式がでてくるのか詳しく解説してはいただけませんでしょうか？

補足日時：2008/04/25 22:53