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xy平面上の円 c:x^2+y^2=4に沿って。A(x,y,z)=(x^2+y、x^2+2z、2y)の線積分∫c A・drをストークス定理を用いて求めよ。

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A 回答 (2件)

ストークス定理より



∫c A・dr=∫s rot(A)・ds

sはcによって囲まれる円の中の微小面積

煩雑さを避けるためベクトル記号は適宜省略

A(x,y,z)=(x^2+y、x^2+2z、2y)のとき

rot(A)=(0,0,2x-1)=(2x-1)k

kはz方向の単位ベクトル

ds=nds=kds

故に

∫c A・dr=∫s rot(A)・ds=∫s (2x-1)ds

計算の都合上、極座標表示する。ds=rdrdΘ

∫c A・dr=∫(0~2π)∫(0~2)(2rcosΘ-1)rdΘdr

Θによる積分を先に行う

∫c A・dr=∫(0~2)[(2rsinΘ-Θ)](0~2π)rdr=-2π∫(0~2)rdr
=--2π[r^2/2] (0~2)=-4π


(注)直接∫c A・drを計算して答えが一致することを確かめること。
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1) ストークスの定理 という公式を調べましょう。


2) rot A の面積積分が出てきます。
まず,直角座標におけるrot A の公式を調べましょう。
これに代入すると,rot A の成分表示が求まります。
3) そのz成分を半径2の円内で面積積分して下さい。

4) 検算として,Aを直接線積分した値と比較してみます。

計算は自分でやってみないと力がつきません。
どこまでわかって,どこでつまずいたか,を明確にして,
もう一度聞いてみてください。
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