球面と接する直線の軌跡が表す領域

xyz空間で点Ａ(0,0,1)、点B(0,2,1)があり、点Ａと点Ｂを直径の両端とする球面をＳとする。
点Ｃ(0,0,c)を通り球面Ｓと接する直線をℓとする。ただし、cはc＞１を満たす実数である。

(1)　直線ℓとxy平面の交点をDとする。点Dの座標を(p,q,0)と表すとき、sおよびｔが満たす方程式を求めよ。
[ 私が考えた(1)の解法 ]
球面の方程式は x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1　…①
直線ℓは点Ｃと点Ｄを通るので、方向ベクトルは(p,q,-c) である。
ゆえに、直線ℓの座標は (x,y,z)=(tp,tq,c-tc) である。
直線ℓは球面Ｓと接するため、球面の方程式に直線ℓの座標を代入すると、
(tp)^2+(tq-1)^2+(c-tc-1)^2=1
これをtについて整理すると、
(p^2+q^2+c^2)t^2-2(d^2-d+q)t+(d-1)^2=0
ｔが実数解であるためには、この式の判別式が０以上になればいいので、
(d^2-d+q)^2-(p^2+q^2+c^2)(d-1)^2=>0　//

(2) 点Dの軌跡が閉曲線になるｃの範囲を示し、その閉曲線によって囲まれたxy平面上の領域の面積を求めよ。

分かる方、(1)の解法が正しいのか、また、(２)の解法を教えてください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ※ 訂正 : 文章中のdは全てcに変換してください。
  よろしくお願いします。

    補足日時：2023/07/30 14:39

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/02 06:01

球面と直線は1点で接するから(判別式≧0ではなく)

(判別式)=0

(c^2-c+q)^2-(p^2+q^2+c^2)(c-1)^2=0
(c^2-c)^2+2q(c^2-c)+q^2-p^2(c-1)^2-q^2(c-1)^2-c^2(c-1)^2=0
2q(c^2-c)+q^2-p^2(c-1)^2-q^2(c-1)^2=0
2q(c^2-c)+q^2-q^2(c-1)^2-p^2(c-1)^2=0
2qc(c-1)+c(2-c)q^2-p^2(c-1)^2=0
p^2(c-1)^2+c(c-2)q^2-2qc(c-1)=0
c>2のとき
p^2(c-1)^2+c(c-2){q-(c-1)/(c-2)}^2=c(c-1)^2/(c-2)

p^2{(c-2)/c}+{q-(c-1)/(c-2)}^2(c-2)^2/(c-1)^2=1

X=p
Y=q-(c-1)/(c-2)
A^2=c/(c-2)
B=(c-1)/(c-2)
とすると

(X/A)^2+(Y/B)^2=1

c>2のとき
中心(0,(c-1)/(c-2))
x半径,√{c/(c-2)}
y半径,(c-1)/(c-2)
の
楕円になる

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/01 15:53

> 直線ℓの座標は (x,y,z)=(tp,tq,c-tc) である。

直線に「座標」なんかない。だから減点。
「直線ℓ上の任意の点の座標(x,y,z)について、(x,y,z0 = (tp,tq,c-tc)となるtが存在する」んです。

> 直線ℓは点Ｃと点Ｄを通るので、方向ベクトルは

わざわざ方向ベクトルを持ち出すまでもなく、直線ℓ上の点の座標は「CとDの重み付き平均」
　　tD + (1-t)C
　　= t(p,q,0) + (1-t)(0,0,c)
　　= (tp, tq, 0) + (0,0,(1-t)c)
　　= (tp, tq, (1-t)c)
で表せる (tは実数）。0＜t＜1のときこの点はCとDの内分点であり、t＜0やt＞1のときには外分点。

> ｔが実数解であるためには、この式の判別式が０以上になればいい

　ま、それはそうなんですが、「直線ℓが球に接する」ためにはどうなのか、という肝心のポイントを見失っているでしょ。もちろん、判別式が0であることが「直線ℓが球に接する」必要十分条件。

　どうやら頭ごちゃごちゃになってしまったらしいんで、ここは一旦、式を離れて幾何を考えると、一体何やってるんだかが整理できると思います。以下、作図してみれば明らかです：
　Cをひとつ決めて、球に接するあらゆる直線ℓを集めると、頂点がCで中心軸が球の中心を通る円錐の側面になる。（直線ℓはどれも円錐の母線である。球はこの円錐に内接していて、両者が接している部分（直線ℓと球の接点の集合）は円周になってる。）
　この円錐を平面で切った断面の輪郭線が「点Dの軌跡」に他ならない。円錐は切りようによって断面に円か楕円か放物線か双曲線が現れる、ということはご存知でしょう。で、「軌跡が閉曲線になる」というのは「断面が楕円になる」ということを指している。
　そのためには接点がCとDの内分点でなくてはならない。つまりどの直線ℓについても、接点の座標 t(p,q,0) + (1-t)(0,0,c) が0＜t＜1を満たす。もちろん、c≦2ではそうはならない。
　さて、楕円の面積は、長軸の長さと短軸の長ささえわかればたちどころに出せる。長軸の長さは幾何学的にごく簡単にわかるが、短軸の方はちょっと注意が必要かも。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/30 20:22

球面と直線は1点で接するから(判別式≧0ではなく)

(判別式)=0

(c^2-c+q)^2-(p^2+q^2+c^2)(c-1)^2=0
(c^2-c)^2+2q(c^2-c)+q^2-p^2(c-1)^2-q^2(c-1)^2-c^2(c-1)^2=0
2q(c^2-c)+q^2-p^2(c-1)^2-q^2(c-1)^2=0
2q(c^2-c)+q^2-q^2(c-1)^2-p^2(c-1)^2=0
2qc(c-1)+cq^2(2-c)-p^2(c-1)^2=0

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/30 13:07

・「接する」条件はだいじょうぶだろうか.

・d ってなに?