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数2
この問題の解き方が意味がわかりません。
kを定数として、いきなりよくわからない式に2つの式を代入して、、、
本当に意味わからないので教えてください。
あと今まで交点を求める時は、連立方程式にでやってきたのですが、なぜ連立方程式じゃないんですか?

「数2 この問題の解き方が意味がわかりませ」の質問画像

A 回答 (3件)

2直線x+2y+2=0,x-y-1=0の交点と、点(1,3)を通る直線の方程式


Kを定数として
K(x+2y+2)+( x-y-1)=0__①
として、(1,3)を通る条件から解が得られるのはなぜか。
その意味は?
もの珍しい方法を鵜呑みにして信じると思わぬ失敗をするので、ちゃんと確認するのは、大変よいことです。点(1,3)の代わりに、点(-4,1)を通る直線だと、どうなるか。
連立方程式で交点を求める方法では、交点は(0,-1)となるので、
勾配は(1-(-1))/(-4-0)=-1/2
なので、y=(-1/2)x-1と求めることができるのに、式①を使うと、不能の式が出ます。
式①を使う方法が、うまく行く基礎として、平面上の直線の方程式はax+by+c=0で表すことができる、
ことから考えましょう。2直線の方程式を②③とします。
a1x+b1y+c1=0__②
a2x+b2y+c2=0__③
A,Bを任意定数として②③から②×A+③×B=④の方程式を作ると
A(a1x+b1y+c1)+B(a2x+b2y+c2)=0__④
④は、2直線の交点を通ります。すなわち交点では、
a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0となるから、
④が成立します。もしB≠0なら④をBで割ると
(A/B)(a1x+b1y+c1)+(a2x+b2y+c2)=0__⑤
となるので、(A/B)=Kと書くと①式になります。
式④は2直線の交点を通る任意の直線です。これが重要です。これを認めれば、理解できます。
⑤が④と違うのはB=0の直線だけが除外されています。そのときは、
式④をAで割って(B/A)=kと書けば、第2項の方にkが付きます。
(a1x+b1y+c1)+k(a2x+b2y+c2)=0__⑥
となります。
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「2直線の交点を通る直線の方程式」で調べると出て来ます。



メリットは、「与えられた2直線」の交点がなんだかわからなくても、求める直線(点(1,3)を通る)の方程式がいきなり求められる…程度でしょうか。

今まで通り、連立方程式を解いて交点を求めてからでもokですよ。
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今後重要になってくる解き方なので、覚えておくと損はないです。



k(x+2y+2)+(x-y-1)=0とおくと
この式自体は1次方程式を表し、交点の座標を代入すると、左側=0、右側=0となり、和も0となります。

だから、2つの直線の交点を通る直線の方程式を表しています。

勿論、連立方程式を解いて、交点の座標を求め、それと(1,3)を通る直線を求めるやり方でも、結果は同じになります。

「2直線の交点を通る直線」で検索すれば、色々解説があるから、勉強して下さい。
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