痔になりやすい生活習慣とは?

平面上に直線をどの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないように引いていくとき、交点の個数がn本でnC2個となるのはなぜですか。
 解答には2本の直線によって1つの交点が交わるから、と書いてあるんですが、なぜ組合せの式が出てくるのかわかりません。
 たとえば2本だと2C2=1個、3本は3C2=3個…となっています。実際に書いてみて、そうなっていました。でもなぜその式で出るのか全く分かりません。
詳しく教えてください。

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A 回答 (2件)

n本の直線から2本を選ぶと交点がひとつ決まります。


なぜなら「どの2本も平行でない」からです。

逆に、交点をひとつ選ぶとそこを通る直線が2本だけ決まります。
なぜなら「どの3本も1点で交わらない」からです。

以上のことから、「交点」と「直線のペア」は1対1に対応していることがわかったので、
交点の数を数える代わりに直線のペアの数を数えても同じだということです。n本の直線から
2本を選ぶ組み合わせの数はnC2通りなので、交点の数もnC2個となります。
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この回答へのお礼

よくわかりました。交点ひとつに対してペアが1組決まるというわけでペアの組合せの数を数えていたのですね。
ありがとうございました!

お礼日時:2010/02/20 00:46

> 平面上に直線をどの2本も平行でなく、


> どの3本も1点で交わらないように引いていくとき、

とは、つまり n本の線を、3本(以上)は交わらないように引いた時、
というこ事です。
交点とは即ち「2本の交点」です。

平面中の平行でない2直線の交点は1コのみです。
なので
「n本の直線のうち2本だけの交点」が何個生じるかというと、
「n本から2本を選ぶ組合せ」に等しいわけです。
なので
nC2」となります。
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この回答へのお礼

なるほど、よくわかりました。ありがとうございました!

お礼日時:2010/02/20 00:48

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答え29個

らしいのですが、全く考え方?何を言っているのか?
可能な限り解り易く教えて頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

(1)まず1本の直線があった場合、領域は「2個」に分かれるのはいいですね。
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(3)さらに3本目の直線が1本の加わると、既存の直線と2ヶ所で交わり、領域は「3個」増えて7個になります。

以下同様にn本目の直線を追加するとその度に領域がn個増えていきます。
(実際に図を書いてみると解りやすいでしょう)

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としかないのですが、なぜそうなるのでしょうか。

Aベストアンサー

おはようございます。

「交点の数」と同じような問題ですね。
三角形には 3つの辺が必要なので、その 3辺(3本の直線)を選ぶということなのですが。

手順を追って考えてみましょう。
1) まずは直線 1本を選びます。(これを 直線:L1とします)
この直線には、残り 7本の直線との交点があります。(∵いずれの 2本も平行ではないから、必ず交わる)
そして、この直線上の交点は 7つあります。(∵いずれの 3本も 1点では交わらないから)

2) 7つの交点から 2つ点を選びます。
これは、残り 2本の直線(L2, L3)を選んでいることと同じです。
これら 2本の直線も必ず交わりますから、三角形ができあがります。

3) 上で選ばれた三角形は、1)で L2を選ぶ場合、L3を選ぶ場合、それぞれで重複してしまいます。
よって、その分を除外しなければなりません。


これを計算式にすると、
8C7× 7C2÷ 3= 8!/(7!1!)× 7!/(2!5!)÷ 3= 8C3とおり

と一致します。

このような数え方でもいいのですが、
3本直線を選べば必ず三角形ができあがることがわかったので、単純に 8C3とおりとしても構わないのです。
1)のところで、「いずれの・・・」の 2つの条件が入ってくるので、このように考えることができることになります。

おはようございます。

「交点の数」と同じような問題ですね。
三角形には 3つの辺が必要なので、その 3辺(3本の直線)を選ぶということなのですが。

手順を追って考えてみましょう。
1) まずは直線 1本を選びます。(これを 直線:L1とします)
この直線には、残り 7本の直線との交点があります。(∵いずれの 2本も平行ではないから、必ず交わる)
そして、この直線上の交点は 7つあります。(∵いずれの 3本も 1点では交わらないから)

2) 7つの交点から 2つ点を選びます。
これは、残り 2本の直線(L2, L3)...続きを読む


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