三角関数の計算について教えて下さい

ＰＬＣのプログラムを作っているのですが、三角関数（？）の部分で
完全に躓いてしまいました。どうか教えて頂けないでしょうか？

点Ａ（０．０）と点Ｂ（任意点Ｘ．Ｙ）を直線で結びんで、その直径で円を描いて
（点ＡとＢを直径とする円です）直線の中間点より垂直に円と交差する場所まで
線を一本（座標は正数エリアのみ）描いた時、円と交差する垂直線の点の座標を
求める式を考えています。

（情報がなにか足りない場合は仰って頂けると有難いです。）

三角関数が自分ではサッパリ分からない為、どなたかご教授頂けると幸いです。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/29 17:23

＞直線の中間点より垂直に

直線の中間点とは、円の中心のことですか？
何と何が垂直なのでしょうか？

この回答への補足

回答ありがとう御座います。
分かり辛くて申し訳ありませんでした。

直線の中間点は円の中心になります。
垂直線は線ＡＢに対してで、正数側にのみ、円と交差する部分点まで伸ばす計算です。

よろしくお願いします。

補足日時：2012/08/29 17:30

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/08/29 17:31

円の中心は(X/2,Y/2)、円の方程式は(x-X/2)^2+(y-Y/2)^2=r^2

ただし、r=(1/2)√(X^2+Y^2)
指定の垂直線の方程式は、傾斜が-X/Yで(X/2,Y/2)を通るので、
y切片をCとするとy=(-X/Y)x+CからY/2=(-X/Y)(X/2)+C、
(X^2+Y^2)/2Y=Cなので、垂直線はy=(-X/Y)x+(X^2+Y^2)/2Y
この直線と円の方程式を連立で解けば、求める点の座標x,yが
得られると思います。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。

連立方程式で解く方法があるのですね・・
全く思いつきませんでした。

今回は何とか乗り越えられそうです。

助すけて下さり、有難うございました。

お礼日時：2012/08/30 10:30

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2012/08/29 18:28

交点をP,Qとすると(P：右下、Q:左上）

P(X/2+rsinΘ, Y/2-rcosΘ)

Q(X/2-rsinΘ, Y/2+rcosΘ)

tanΘ=Y/X

または

sinΘ=Y/√(X^2+Y^2)

cosΘ=X/√(X^2+Y^2)

r=(1/2)√(X^2+Y^2)

この回答へのお礼

回答有難うございます。

見させて頂くと、やはり質問させて頂いて正解だったと
痛感しました。

ＳＩＮ．ＣＯＳ．ＴＡＮがサッパリなので再度勉強させて頂こうと思います。

有難うございました。

お礼日時：2012/08/30 13:13

No.4 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/29 18:40

ANo.1です。

補足について

Ａ（０，０）Ｂ（Ｘ，Ｙ）なので、円の中心はＡＢの中点だから
（（０＋Ｘ）／２，（０＋Ｙ）／２）＝（Ｘ／２，Ｙ／２）
半径は、Ａから中心までの長さだから、
√（Ｘ／２－０）^2＋（Ｙ／２－０）^2＝)√（Ｘ^2／４）＋（Ｙ^2／４）
＝(1/2)√Ｘ^2＋Ｙ^2
円の方程式は、
｛ｘ－（Ｘ／２）｝^2＋｛ｙ－（Ｙ／２）｝^2＝(1/4)（Ｘ^2＋Ｙ^2）……（１）
直線ＡＢの傾き＝（Ｙ－０）／（Ｘ－０）＝Ｙ／Ｘ
ＡＢに垂直な直線の傾きｍは、ｍ×（Ｙ／Ｘ）＝－１より、ｍ＝－Ｘ／Ｙ
円の中心を通るから、直線の式は、
ｙ－（Ｙ／２）＝（－Ｘ／Ｙ）・｛ｘ－（Ｘ／２）｝……（２）
（２）を（１）へ代入して、
｛ｘ－（Ｘ／２）｝^2＋（Ｘ^2／Ｙ^2）・｛ｘ－（Ｘ／２）｝^2＝(1/4)（Ｘ^2＋Ｙ^2）
｛（Ｙ^2＋Ｘ^2）／Ｙ^2｝・｛ｘ－（Ｘ／２）｝^2＝(1/4)（Ｘ^2＋Ｙ^2）より、
｛ｘ－（Ｘ／２）｝^2＝Ｙ^2／４だから、
ｘ－（Ｘ／２）＝±Ｙ／２　…（３）　　よって、ｘ＝(1/2)（Ｘ±Ｙ）
（３）を（２）へ代入して
ｙ－（Ｙ／２）＝（－Ｘ／Ｙ）・（±Ｙ／２）だから、
ｙ－（Ｙ／２）＝－Ｘ／２，ｙ－（Ｙ／２）＝Ｘ／２
よって、ｙ＝(1/2)（Ｙ－Ｘ)，ｙ＝(1/2)（Ｙ＋Ｘ）

以上より、円と直線の交点の座標は、
ｘ＝(1/2)（Ｘ＋Ｙ），ｙ＝(1/2)（Ｙ－Ｘ)，または、
ｘ＝(1/2)（Ｘ－Ｙ），ｙ＝(1/2)（Ｙ＋Ｘ）

Ｂ（Ｘ，Ｙ）の座標を代入して、ｘ＞０，ｙ＞０になる場合を採用すればいいと思います。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座いました。
詳しく教えて下さり、本当に助かりました。

正直見た瞬間はサッパリでしたが、噛み砕いて整理すると、
成程・・・と納得出来、おかげで乗り越えられました。

助けて下さり、ありがとう御座いました。

お礼日時：2012/08/30 10:28