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目標:ある点Aの位置を計測したい(GPSみたい).

条件:三角形の3つの頂点にセンサそれぞれ配置している.(センサの位置は既知)
   各センサはある点Aとの距離を計測できる.
  (ただし条件として,計測できる距離は一意ではなくある係数倍かかっています.)
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条件を満たしつつ目標を達成するために,係数αを逆算したいです
以下質問


まず,計算を簡単にするために,3つのセンサの配置座標を回転+平行移動させて
センサ1(0,0,0)   半径(出力距離) αR1
センサ2(X2,0,0)  半径(出力距離) αR2
センサ3(X3,Y3,0) 半径(出力距離) αR3
とすると,3つの円の方程式は,

x^2      + y^2     = αR1 ・・・(1)
(x - X2)^2  + y^2     = αR2 ・・・(2)
(x - X3)^2  + (y - Y3)^2 = αR3 ・・・(3)

とここまではわかるのですが,
学校では勉強したときは,2円が交わる,接する,接しないかを判別するのに,判別式を使いましたが,
3つの円が1点で交差するための条件は学んでおらず判りません.

条件がわかれば,それを満たすαがわかるので,
位置を推定するときにα倍すれば位置が推定できそうなのですが・・・

数学の知識が乏しいため,詳しい方がおられましたらご教授お願いいたします.

「3つの円が1点で交わる条件について」の質問画像

A 回答 (3件)

2つの円の交点は、高々2つしかありません。


3つめの円は、その2つの交点のうちどっちなのかを選択しているだけです。

センサ1とセンサ2の円の式から交点の2座標を計算し、その位置とセンサ3との距離がαR3になっているかを判断すればいいのではないですか?


なお、円の式(1)は、半径がαR1なら、
x^2 + y^2 = (αR1)^2
です。
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この回答へのお礼

なるほど.そういう考え方もできるのですね☆

自分は,3つの円から判別式みたいのがあって,
それを解くのかと思っていました.

ちょっとその考え方で試してみます.
ありがとうございます.

お礼日時:2009/10/30 14:32

#1です。


αが入力しにくいのでaとおきます。
センサ1 A(0.0.0), 半径 aR1
センサ2 B(X2,0,0), 半径 aR2
センサ3 C(X3,Y3,0), 半径 aR3

センサの位置座標A,B,Cは各円の中心座標でもある。

また半径の2乗が円の方程式になりますので
x^2 +y^2     =(aR1)^2 ・・・(1)
(x - X2)^2 +y^2 =(aR2)^2 ・・・(2)
(x - X3)^2 +(y-Y3)^2=(aR3) ・・・(3)
と修正しておきます。

>>(条件1)3つの円の方程式が共有点を持つこと。

これは
(1),(2)を解いた解を求めると
2つの交点を持つ条件(交点の1つが三角形の内部にある条件)から
判別式D={(aR2+aR1)^2-X2^2}{X2^2-(aR1-aR2)^2}>0
の条件を満たすこと。このとき

x={X2^2-(aR2)^2+(aR1)^2}/(2*X2),y=-√D/(2X2)
x={X2^2-(aR1)^2+(aR2)^2}/(2X2),y=√D/(2X2)

この2つの点のどちらがが△ABC内にくる点の候補かは
辺AB(y=0の直線)に対してC点と同じ側にあるという条件で決められます。
つまりy座標の符号が同じ方です。
X2>0,Y3>0であれば、
x=xa={X2^2-(aR1)^2+(aR2)^2}/(2X2),y=ya=√D/(2X2)
が△ABCの内側にくる方の点となります。
この座標(xa,ya)を方程式(3)に代入した条件式

(xa - X3)^2 +(yb-Y3)^2=(aR3)^2

を満たすなら、
点(xa,ya)が3円が一点で交差する場合の共有点になります。
z座標を加えると 共有点は (xa,ya,0) ということです。
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3つの円が一点で交わる貯めの条件は


(条件1)3つの円の方程式が共有点を持つこと。

今回の問題では共有点の位置の条件として
(条件2)共有点が円の中心を結んでできる三角形の内部にあること。

求める条件は
「(条件1)および(条件2)を併せた条件」
を考えればいいでしょう。
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この回答へのお礼

>>3つの円が一点で交わる貯めの条件は
>>(条件1)3つの円の方程式が共有点を持つこと。

そうなんです.その条件が分からなかったので知りたかったのですが・・・

もうすこし考えてみます.
素早い回答ありがとうございます.

お礼日時:2009/10/30 14:34

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