数学2の図形と方程式について教えてください。 写真の矢印の部分が全く意味がわかりません。 2p-3q

数学2の図形と方程式について教えてください。
写真の矢印の部分が全く意味がわかりません。
2p-3q+4=0, p+2q-1=0から、(2p-3q+4)+(p+2q-1)=0は、成り立つのはわかります。
でもここにk(定数)とはならなくないでしょうか？
2p-3q+4=0, p+2q-1=0で、両辺に同じ数を足せば(2p-3q+4)+(p+2q-1)=0が成り立ちます。
しかし、kは不要ですよね？確実にk=1になると思いますので。
なぜ、kという文字があるのか詳しい方教えてください。
kをかける意味もわからなければ、公式のk(ax+by+c)+(a'x+b'x+c') =0のx,yに交点ではない座標を入れるのも意味がわからないです。

ax+by+c=0とa'x+b'x+c'=0は、交点ではない点は通らないです。それなのに公式に交点でない点を当てはめて、全くもって何がしたいのかわかりません。

論理的であるべきの数学をあたかも暗記と言わせるようなこの公式ですが、詳しく解説をお願いします。

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/14 10:42

直線③k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0

は
直線①2x-3y+4=0
と
直線②x+2y-1=0
の
交点
(x,y)=(-5/7,6/7)
を
通るのです

k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0…③

X=x+5/7…(1)
Y=y-6/7…(2)
とすると
(1)の両辺から5/7を引くと
X-5/7=x…(1')
(2)の両辺に6/7を加えると
Y+6/7=y…(2')
↓両辺に2をかけると
2Y+12/7=2y…(2")
↓これを(1')に加えると
X+2Y+1=x+2y
↓両辺から1を引くと
X+2Y=x+2y-1…(3)

(1')の両辺に2をかけると
2X-10/7=2x…(1")
(2')の両辺に-3をかけると
-3Y-18/7=-3y
↓これを(1")に加えると
2X-3Y-4=2x-3y
↓両辺に4を加えると
2X-3Y=2x-3y+4
↓これと(3)を③に代入すると

k(2X-3Y)+X+2Y=0
(2k+1)X+(2-3k)Y=0
↓両辺に(3k-2)Yを加えると
(2k+1)X=(3k-2)Y
↓左右を入れ替えると
(3k-2)Y=(2k+1)X
↓これに(1),(2)を代入すると

(3k-2)(y-6/7)=(2k+1)(x+5/7)

3k-2≠0のとき両辺を(3k-2)で割ると

y-6/7={(2k+1)/(3k-2)}(x+5/7)

となって③の直線は
①②の交点(-5/7,6/7)を通る

傾き(2k+1)/(3k-2)の直線になるのです

k=1のとき傾き3の(-5/7,6/7)を通る直線になるのです
k=2のとき傾き5/4の(-5/7,6/7)を通る直線になるのです
k=3のとき傾き1の(-5/7,6/7)を通る直線になるのです
…
だから
k=1だけになるわけではありません

kは直線③の傾き(2k+1)/(3k-2)を決めるために必要なのです

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/13 10:23

推測を重ねて答えてみると。

ひょっとすると直線③は(p, q)を通る直線群なんだろうと思う。

直線①はおそらく 2x - 3y + 4= 0
直線②はおそらく x + 2y - 1= 0
なのかもしれない。

交点 (p, q) は直線①と②の式を連立すれば (p, q) = (-5/7, 6/7)

直線①は式の形から法線ベクトル(2, -3) に対して垂直になる。
直線②は式の形から法線ベクトル(1, 2) に対して垂直になる。

k×①＋② は
k(2x - 3y + 4) + x + 2y - 1 = 0
{k(2, -3) + (1, 2)}・(x, y) -1 = 0

#質問では p, q を使っているけど。おそらくこの式に
#p, q を代入したのでしょう。

だから、この直線は (p, q) を通り、法線ベクトル　k(2, -3) + (1, 2)
に対して垂直になります。

(2, -3)、 (1, 2)は1次独立なので、{k(2, -3) + (1, 2)}の向きは 180度までの範囲で変えられます((2, -3)方向のみ表現できない）。

k(2x - 3y + 4) + x + 2y - 1 = 0

は、交点(p, q) を通る(2, -3)方向と垂直な向きのみをを除く直線群を表す
方程式になります。

>しかし、kは不要ですよね？確実にk=1になると思いますので。
>なぜ、kという文字があるのか詳しい方教えてください。

以上、もし直線③が交点(p, q) を通る直線群を表す
という話なら、k=1 「だけ」ではありません。

推測に推測を重ねているから当たらずとも遠からずかも。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/12 20:29

2p-3q+4=0, p+2q-1=0から、

kがどんな値であっても

0にどんな数kをかけても0だから

k(2p-3q+4)+(p+2q-1)=k*0+0=0

が成り立つのです

だから

kがどんな値であっても
直線③
k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
は
直線①と直線②の交点を通るのです

直線①上の点ではない点
2s-3t+4≠0となる点を
(s,t)とする

k=-(s+2t-1)/(2s-3t+4)
とすると

k(2s-3t+4)+(s+2t-1)
=-(s+2t-1)(2s-3t+4)/(2s-3t+4)+(s+2t-1)
=-(s+2t-1)+(s+2t-1)
=0

となるから

直線③
k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
は
(s,t)を通るのです

だから

2s-3t+4≠0となる点
(s,t)
に対して
k=-(s+2t-1)/(2s-3t+4)
のとき
直線③
k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
は
直線①と直線②の交点と(s,t)を通るのです

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/12 18:07

問題文がわからないので？

　例えば　もっと簡単に
y=ax　　　　................(1)
y= -x ................(2)
とした場合
ax= -x ∴ax= -x ∴(a+1)x=0
この場合　(0,0) は　aの値に拘わらず　(0,0)は通ることはわかる！
x= -x これは(0,0)を通りますが
グラフに書けばわかるでしょう　例えば
a=2 とした場合も　(0,0)を通りますね
a=1だけでないということ

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/12 16:13

直線①2x-3y+4=0

と
直線②x+2y-1=0
に
対して

直線③
k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
が
直線①と直線②の交点を通るのは
k=1の場合だけではありません

kがどんな値であっても
直線③
k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
が
直線①と直線②の交点を通るというのが
なぜわからないのでしょうか?

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/12 13:19

ある直線が k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0 と書ける

⇒ その直線は 2x-3y+4=0 と x+2y-1=0 の交点を通る

は言えるけど、その逆は言えない(⇔じゃあない)
ことには注意が必要かな。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/12 11:10

例えば

直線①2x-3y+4=0
と
直線②x+2y-1=0
の
交点と原点の両方を通る直線を求めよ
という
問題の場合

直線①2x-3y+4=0
と
直線②x+2y-1=0
の
交点を通る
直線③

k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0

が原点(0,0)を通るから
x=0,y=0を代入すると

4k-1=0
4k=1
k=1/4

(1/4)(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
2x-3y+4+4(x+2y-1)=0
6x+5y=0
5y=-6x

∴①と②の交点と原点を通る直線は

y=-(6/5)x

と求められる

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/06/12 10:12

A = 0, B = 0のとき、A + B = 0が成り立つ。

A = -1, B = 1でも、A + B = 0が成り立つ。
つまり、「A = 0, B = 0」は「A + B = 0」の十分条件であり、「A + B = 0」は「A = 0, B = 0」の必要条件。

　一方、「どんなkについても　kA + B = 0」が成り立つのは、A = 0, B = 0の時だけ。つまり、「どんなkについても kA + B = 0」と「A = 0, B = 0」は互いに必要十分条件になってるんです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/12 06:20

直線③の式が

k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0

だから

直線③の式に　k　があるから

直線③
k(2x-3y+4)+(x+2y-1)=0
は
直線①
2x-3y+4=0
と
直線②
x+2y-1=0
の交点を通る

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/12 02:27

こんな元の話が全く見えない断片を見せられても

何の話か解らんです。

直線③って何？