数学の質問です loge 3＝1.1になる成り行き教えて欲しいです

数学の質問です
loge 3＝1.1になる成り行き教えて欲しいです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/02 19:36

画像の通り

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/01 20:41

なりゆき？

log_e 3 = 1.1 を証明しろってことかな？
本当は = 1.1 じゃなく ≒ 1.1 だけどね。
関数電卓で確認すれば判る。
円周率 π が = 3.14 じゃなく ≒ 3.14 なのと同様だ。

log_e 3 ≒ 1.1 という式は、
1.05 ≦ log_e 3 < 1.15 って内容を表している。　←[*0]
[*0]を証明するには、log_e が単調増加だから
e^1.05 ≦ 3 < e^1.15 を示せば十分だが、　　　　←[*1]
指数法則から、
e^-1.15 < 1/3 ≦ e^-1.05 を示しても同じことだ。←[*2]

指数関数のマクローリン展開
e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + ...
から、
e^-1.15 = 1 + (-1.15) + (1/2!)(-1.15)^2 + (1/3!)(-1.15)^3 + ... ,
e^-1.05 = 1 + (-1.05) + (1/2!)(-1.05)^2 + (1/3!)(-1.05)^3 + ...
このふたつの級数は、どちらも
隣接項の正負が異なり、各項の絶対値は単調減少している。
このような級数を「交代減少級数」という。

交代減少級数は、収束し、
有限項で打ち切ると、打ち切り誤差が打ち切った最初の項より小さい。
この知識を使って、
e^-1.15 < 1 - 115/100 + (1/2)(115/100)^2 - (1/6)(115/100)^3 + (1/24)(-115/100)^4
　　　　= 1269681/3840000 < 1/3,
e^-1.05 > 1 - 105/100 + (1/2)(105/100)^2 - (1/6)(105/100)^3 + (1/24)(105/100)^4 - (1/120)(105/100)^5
　　　　= 133755999/384000000 > 1/3 ≧ 1/3.
が言える。よって[*2]は示された。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/11/01 14:21

自然対数の低を [e] と表すと、

log[e]3 は 1.098612289… で 約 1.1 です。
指数関数と対数関数の書き方は 習ったはずですが。
例えば 2³=8 → log₂8=log₂2³=3 です。
つまり log[e]3 は 「e を 何乗したら 3 になるか」という式です。
（この値は 普通の筆算では 求められません。）

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/01 11:37

loge 3=1.1ではありません

loge 3≒1.09812289…

loge 3<89/81<1.1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/01 00:45

なりゆき？

対数の底を [ ] で書くと
　x = log[e](3)
とは、対数の定義から
　e^x = 3　　←「e^x」とは「e の x 乗」のことね。「x」を右肩に小さい文字では書けないからこう書きます。
ということです。
こうなる x の値が「約 1.1」ということです。

試しに関数電卓で計算してみれば
　e^1.1 = 3.0041660･･･
です。
ほぼ「３」ですね。

ただ、それだけのこと。

「対数」とは、単に

　A^x = y

を

　x = log[A](y)

と表記すると定義しただけのことです。