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ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょうか。

R^2上で定義されたf(x,y)=x^4+2y^4-3(x-2y)^2について、

停留点は(0,0)(√3/2,-√3/2)(-√3/2,√3/2)と出たのですが、(x,y)=(0,0)のときヘシアンが0になってしまいました。

どなたか教えて頂けるとありがたいです。

A 回答 (1件)

>(x,y)=(0,0)のときヘシアンが0になってしまいました。


>ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょうか。

この場合の(x,y)=(0,0)は鞍点f(0,0)=0になりますので極値の停留点にはなりません。
これを調べるには(x,y)=(0,0)の近傍でf(x,y)の符号が正にも負にもなることを示せばいいです。
x=t+Δt,y=-(t+Δt)とおいてt→0とすると
g'(t)=6(2t^3-9t),g'(0)=0
g"(t)=18(2t^2-3),g"(0)=-54
f(x,y)=f(t+Δt,-(t+Δt))=g(t+Δt)→g(0)+g'(0)Δt+(g"(0)/2)Δt^2+R3=-27Δt^2<0
f(x,y)はx=-y=t(t→0)の近傍で負になる。

また
x=2(t+Δt),y=(t+Δt)とおいてt→0とすると
h(t)=18t^4
h(t+Δt)=18(t+Δt)^4,h(Δt)=18Δt^4
f(x,y)=f(2(t+Δt),(t+Δt))=h(t+Δt)→18Δt^4>0
f(x,y)はx=2y=t(t→0)の近傍で正になる。

以上から(x,y)→(0,0)への近付き方により(0,0)の近傍でf(x,y)が負の場合と、正の場合がある。つまり(0,0)は極値点ではなく、鞍点であると言える。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
ではfは極値をとらないんですね!!
助かりました(^^)

お礼日時:2010/11/09 15:17

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Q極値の判定でヘッシアンの値が0になってしまった場合

極値の判定でヘッシアンの値が0になってしまった場合
どのような方法で極値を取るかどうか判定すればいいのか
わからないのですがどのような方法を用いるのでしょうか?

Aベストアンサー

ヘッシアンが 0 ということは、ヘッセ行列が固有値 0 を持つ
ということです。0 以外の固有値は、どうなっているでしょうか?

0 でない固有値が全て正なら、停留値は極小。
全て負なら、停留値は極大。
正と負と両方あるなら、停留点は鞍点で、極値ではない。
固有値が 0 のみなら、三次以下の微小項を見て判定する必要がある。

この辺の事情は、一変数関数の場合とよく似ています。

二階偏微分可能な実多変数関数であっても、偏導関数が連続でないと、
ヘッセ行列が対称行列ではないことがあり、その場合、虚数固有値が
表れる可能性がありますから、話しがややこしいですね。

Q臨界点でHessianが0の時の極値の判定

微分可能な実多変数関数の臨界点(全ての1回導関数が0になる点)でHessianが0でないときはHesse行列の固有値によってこの点が極値かどうかの判定ができることはよく知られていますが、Hessianが0になるときの判定法を書いてある本は少ないようです。私が考えた結果、次の結論に至りました。
(1)Hesse行列の0以外の固有値に符号が異なるものがあるときはこの点は極値ではない。なぜならば固有値が正の固有ベクトルの方向に関しては極小点となっており、固有値が負の固有ベクトルの方向に関しては極大点となっているから。
(2)Hesse行列の0以外の固有値がすべて同符号で固有値0の空間が1次元であるときは、固有値0の固有ベクトルの方向に関して極値になっているかを調べれば良い。これは1変数関数の極値の判定に帰着するので容易。
(3)Hesse行列の固有値0の独立な固有ベクトルが2個以上のときは、各固有ベクトルの方向に関して調べてもこの点が極値であるかどうかの判定はできない。
そこで、やっと質問ですが、(3)の場合は極値の判定はどの様にしたら良いのでしょうか。

微分可能な実多変数関数の臨界点(全ての1回導関数が0になる点)でHessianが0でないときはHesse行列の固有値によってこの点が極値かどうかの判定ができることはよく知られていますが、Hessianが0になるときの判定法を書いてある本は少ないようです。私が考えた結果、次の結論に至りました。
(1)Hesse行列の0以外の固有値に符号が異なるものがあるときはこの点は極値ではない。なぜならば固有値が正の固有ベクトルの方向に関しては極小点となっており、固有値が負の固有ベクトルの方向に関しては極大点となって...続きを読む

Aベストアンサー

稚拙な回答で恐縮ですが、近傍の値を実際に調べてみるのが一番ではないですか?f(x,y)-f(0,0)の符号を調べるという感じで。極値判定は抽象的な場合について知りたいというよりは、具体的に関数が与えられた場合について考察したいことがほとんどのように思います。あるいは同じことですが、任意方向の方向微分を計算してみるのはいかがですか。1変数の極値判定に帰着できるのであれば、より高解の微分によって判定条件が与えられそうな気がしなくもないですが、面倒そうに思います。

QH(a,b) 二変数関数の極値判定について

一変数関数で、ある関数f(x)についての2回微分であるf''(x)について
f''(x)>0かf''(x)<0かをf'(x)=0の点が極大か極小か判定するために見ることはわかります。
要するに、f(x)の傾きであるf'(x)が今後増加するのか、減少するのかを見て判断するわけです。

ニ変数関数においても同様に、fxxfyy-(fxy)^2=H(a,b) が正か負かで極値判定を行うようなのです。
ただ、このH(a,b)の式の意味がよくわからず困っています。
この式は何を意味しているのでしょうか?
どことなくV(x)=E^2(x)-{E(x)}^2 の期待値と分散の関係式を思い出すのですが・・・・

Aベストアンサー

http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/sk1-2008/sk1-2008_01.pdf
の下の方。

Q2変数関数の極値を求める問題について

微分積分の回答をお願いいたします。

関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2について次の問いを求めよ
1、z=f(x,y)の偏導関数を計算し、極値の候補を求めよ、
2、z=f(x,y)の第二次偏導関数を計算し、上で求めた候補が極値かどうか求めよ、
また、極値ならば極大か極小か吟味せよ。

回答をお願いいたします。

Aベストアンサー

関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2 
1、
z=f(x,y)の

偏導関数
 fx=3x^2-3y, fy=-3x+2y
連立方程式
 fx=fy=0
を解いて極値の候補点(停留点)を求めると
 (x,y)=(0,0),(3/2,9/4)
極値の候補
 f(0,0)=0,
 f(3/2,9/4)=-27/16

2、
fxx=6x, fyy=2, fxy=fyx=-3
detH(x,y)=6x*2-(-3)^2=12x-9
(x,y)=(0,0)の時 detH(0,0)=-9<0より 鞍点 
(x,y)=(3/2,9/4)の時 detH(3/2,9/4)=9>0,fxx(3/2,9/4)=9>0より 極小値f(3/2,9/4)=-27/16を取る。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

Qヘッシアンが0になった場合

極値の判定でヘッシアンが0になった場合、ヘッセ行列のほかの固有値を調べることで極値を持つかどうか判定できると聞きました。
具体的に、固有値がどうなった時に極値を持つのかが書かれた本やサイトを紹介してください。
何冊か本を調べましたが「ヘッシアンが0の時はこの方法では分からない」としか書かれていません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

一般に「ヘッシアンが0になった場合、ヘッセ行列のほかの固有値を調べることで極値を持つかどうか判定できる」ということはないと思われます。
 f(x,y) = x^2 +y^3
 g(x,y) = x^2 +y^4
とすると(0,0)でのヘッセ行列の固有値はともに0と2ですが、明らかにfは極値を持たず、gは極値を持ちます。

Q停留点

f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+4yのfの極大値、極小値、鞍点を求めよ

xとyの偏導関数が0となるx、yがそれぞれの候補(ちなみに(x,y)=(2/3,-7/3)でした)となるのは分かるのですがその先がわかりません
手元にも参考書籍がありません
なので、出来れば分かりやすく教えて頂ければ幸いです
お願いします

Aベストアンサー

2変数関数の停留点の極値の判別法が載っている
参考URLを挙げておきますので勉強してください。
[1] ttp://ja.wikibooks.org/wiki/解析学基礎/二階微分
[2] ttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html
(直接URLにリンクをはれないので、先頭のhを補って参照ください)

やる手順は決まっています。手順に従って停留点で極値の判別するだけです。そのあと、最大値、最小値の判別をします。
[1]の多変数の場合(今の場合2変数)のヘッセ行列のところの[定理]に基づく判別,[2]の場合AとDの符号による判定法を使います。
どちらの判別方でも良いです。

f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+4y ...(1)
の場合
一次の偏導関数は
fx=2x+y+1 ...(2)
fy=x+2y+4 ...(3)
fx=fy=0から停留点は(x,y)=(2/3,-7/3)の1つだけです。
停留点だけが極値または鞍点の候補で、これ以外の極値、鞍点の候補はありません。
(2),(3)から2次の偏導関数は
fxx=2,fyy=2,fxy=fyx=1 ...(4)
全て定数なので、停留点(2/3,-7/3)における2次偏導関数の値も同じになります。
A=fxx(2/3,-7/3)=2>0 ...(5)
C=fyy(2/3,-7/3)=2>0 ...(6)
B=fxy(2/3,-7/3)=1>0 ...(7)
参考URL[2]の判別法によれば
A=2>0,D=B^2-AC=1-4=-3<0なので 停留点(2/3,-7/3)では極小値をとる。
極小値f(2/3,-7/3)=-13/3 ...(8)

参考URL[1]の定理(二変数の場合)による判別法によれば
ヘッセの行列Hは
 H=([A,B],[B,C])=([2,1],[1,2])
Hの固有値を求めるとt=1,3の2つだけ。
固有値1,3がすべて正なので、定理から、停留点(2/3,-7/3)では極小値をとることが判別される。
極小値f(2/3,-7/3)=-13/3 ...(8)'

以上から,f(x,y)には極大値や鞍点は存在せず、極小値は(8)または(8)'の
極小値f(2/3,-7/3)=-13/3であることが判別された。

次に、最大値、最小値の判別をすると
x-(2/3)=u,y+(7/3)=vと置く(極小点までf(x,y)を平行移動)と
f(u+2/3,v-7/3)=g(u,v)(と置く)
=u^2+v^2+uv-11/3
=(u+(v/2))^2+(3/4)v^2-11/3≧-11/3
平行移動で最大値、最小値は変化しないから
(u,v)=(0,0)つまり(x,y)=(2/3,-7/3)で最小値(極小値)-11/3をとる。
lim(x→∞,y→∞) f(x,y)=lim(u→∞,v→∞) g(u,v)=∞
なので f(x,y)の上限が存在しない(限りなく大きくなる)ので最大値は存在しない。
と判別される。

答え→最大値、鞍点は存在しない。最小値は(2/3,-7/3)=-13/3。

2変数関数の停留点の極値の判別法が載っている
参考URLを挙げておきますので勉強してください。
[1] ttp://ja.wikibooks.org/wiki/解析学基礎/二階微分
[2] ttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html
(直接URLにリンクをはれないので、先頭のhを補って参照ください)

やる手順は決まっています。手順に従って停留点で極値の判別するだけです。そのあと、最大値、最小値の判別をします。
[1]の多変数の場合(今の場合2変数)のヘッセ行列のところの[定理]に基づく判別,[2]の場合AとDの符号による判...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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