色の知識で人生の可能性が広がる!みんなに役立つ色彩検定 >>

ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょうか。

R^2上で定義されたf(x,y)=x^4+2y^4-3(x-2y)^2について、

停留点は(0,0)(√3/2,-√3/2)(-√3/2,√3/2)と出たのですが、(x,y)=(0,0)のときヘシアンが0になってしまいました。

どなたか教えて頂けるとありがたいです。

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

>(x,y)=(0,0)のときヘシアンが0になってしまいました。


>ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょうか。

この場合の(x,y)=(0,0)は鞍点f(0,0)=0になりますので極値の停留点にはなりません。
これを調べるには(x,y)=(0,0)の近傍でf(x,y)の符号が正にも負にもなることを示せばいいです。
x=t+Δt,y=-(t+Δt)とおいてt→0とすると
g'(t)=6(2t^3-9t),g'(0)=0
g"(t)=18(2t^2-3),g"(0)=-54
f(x,y)=f(t+Δt,-(t+Δt))=g(t+Δt)→g(0)+g'(0)Δt+(g"(0)/2)Δt^2+R3=-27Δt^2<0
f(x,y)はx=-y=t(t→0)の近傍で負になる。

また
x=2(t+Δt),y=(t+Δt)とおいてt→0とすると
h(t)=18t^4
h(t+Δt)=18(t+Δt)^4,h(Δt)=18Δt^4
f(x,y)=f(2(t+Δt),(t+Δt))=h(t+Δt)→18Δt^4>0
f(x,y)はx=2y=t(t→0)の近傍で正になる。

以上から(x,y)→(0,0)への近付き方により(0,0)の近傍でf(x,y)が負の場合と、正の場合がある。つまり(0,0)は極値点ではなく、鞍点であると言える。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

ありがとうございます!!
ではfは極値をとらないんですね!!
助かりました(^^)

お礼日時:2010/11/09 15:17

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング