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「√○=√△」→「○=△」
「○=△」→「√○=√△」

「√○=△」→「○=△^2」
「○=△^2」→「√○=△」
これが成り立つのは○と△がどんな条件のときですか?

A 回答 (6件)

中学校で習いますね √(a^2)=aは間違いだと あれですよ 高校行くと√(a^2)=|a|で記号が増えただけで意味わからんところです


「√○=√△」→「○=△」「○=△」→「√○=√△」「√○=△」→「○=△^2」は無条件で成立
「○=△^2」→「√○=△」はだめ 
理由は簡単 平方して等しい式は元の式の符号がわからなくなるので元に戻して2乗を外すときは注意です4=(-2)^2 しかし√4=-2ではありませんね
条件は最後の「√○=△」からでます √○とかくと ルートの中は0以上に実数、さらに√○は0以上の実数と高校で習いますから△は0以上の実数をつけましょう  
基本的に等式の両辺には同じ操作をしてもいいんですがルートをつけるときはルートの定義や符号問題で注意です
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たったひとつ。



(基本)Aが正の実数であるとき
 √A は、Aの平方解 二乗したらAになる数のうち正のものを表す。
 4の平方解 は、+2、-2 がありますから、-2については、-√4 とあらわす。
 あるいは、4の平方根 = ±√4 = ±2

Aが負の時は、複素数まで数を拡張すると虚数をつかって
 √-A = √(A ・ -1) = √(A) ・ √(-1) = ±√A・i

そのうえで
「√○=√△」→「○=△」
「○=△」→「√○=√△」

「√○=△」→「○=△^2」
「○=△^2」→「√○=△」
を考えてみましょう。ひとつひとつの場合を考えると大変だけど、平方根を理解してたら、覚えてなくても簡単に
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ANo.3に1票。


しっかし、「○=△」→「√○=√△」も分からんという所を見ると、質問者氏は混乱状態に陥っているんではないか。ま、落ち着いて。(「○=△」ってのは、「○と△は全く同じものだ」って意味ですよ?)
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〇△を実数とし、√の中は0又は正のみ定義されているとすると


■「√○=√△」→「○=△」、「○=△」→「√○=√△」、
「√○=△」→「○=△^2」
左辺と右辺が定義されている範囲では常に真

■「○=△^2」→「√○=△」
△≧0

〇△を複素数とする場合は、√の定義が必要ですね。
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実数の範囲で、


「√○=√△」→「○=△」、○と△の絶対値が同じ時(√○→○の操作を(√○)^2と解釈した場合)
「○=△」→「√○=√△」、○と△の絶対値が同じ、かつ符号が同じ時

「√○=△」→「○=△^2」、○も△も正の実数
「○=△^2」→「√○=△」、○も△も正の実数

少し虚数の考えが入っていますが、本格的に虚数、複素数が入ってくると条件はもっと複雑になります。
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右式→左式(4組)において、


左式「○、△」と右式「○、△」がそれぞれ同じ値の時
です。

左式(○、△)→右式(○、△)の4組は、全てが、
一方を2乗すれば他方になる、
これを書いているだけです。
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Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

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3.2つの等式、不等...続きを読む

Q平方根を取る  とはどういう意味でしょうか

マセマ出版社の「初めから始める数学I」という参考書を使って勉強しているのですが
その中で

(a+b)+2√ab= (√a+√b)^2

この両辺は正で、√a+√b > 0 より
この両辺の正の平方根をとると

√(a+b)+2√ab = √a+√b
↑この√は全体にかかっています

となる


と書いてあります
両辺の正の平方根を取る、というのはどういう意味なのでしょうか?
よろしくお願いします

Aベストアンサー

2乗する前の正の数を求める。
累乗の逆ですね。

Q両辺ともに0以上なので、2乗して同値である

| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか??
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
実際、


(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式も成り立つので)
| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺を2乗して
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)


これではダメなのでしょうか?


また、もうひとつ、以上とは関係ない質問なのですが、
| 1-2m | = √m^2+1
この式は両辺がともに0以上ですが、
「両辺がともに0以上」の「ともに」が良く分かりません。
片方の辺が0以上ならば、「=」で結ばれたもう片方の辺も0以上なのでは?と思います。
あるいは、例えば、左辺が正で、右辺が負であるというような式もあるのですか?

| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか??
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
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(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式...続きを読む

Aベストアンサー

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

|x+1|=2xが成り立つなら、右辺ももちろん0または正ですが、右辺と左辺をばらばらに考えた場合、左辺は常に0または正ですが、右辺は負にもなり得ます。
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a^2=b^2に「aもbもともに0以上」あるいは「aもbもともに0以下」という条件があればa=bとなります。この条件がないとa=-bのときも出てきてしまいます。
元の問題では、「aもbもともに0以上」という条件が満たされているため、a^2=b^2を解けば、その解ではa=bが成り立つわけです。

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

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Q両辺が正のとき,両辺を平方できる???

問題を解いていて、当たり前のように両辺に平方をすることがあったのですが、参考書をよく見るとそれをするときはその前書きや捕捉場所に「両辺が負でないから」などと書いてあります。
両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かるのですが、なぜ、両辺が負でないときに同値性が崩れない(なぜ、p⇒qだけでなくq⇒pが成り立つ)のですか?

つまり、

A > 0, B > 0ならば
A = B ⇔ A² = B²

の証明がうまくできないのでご教示ください。

Aベストアンサー

=>)
明らか

<=)
A^2=B^2より
(A^2)-(B^2)=0
∴(A-B)(A+B)=0
A+B>0なのでA-B=0が必要。
よってA=B

※A^2はAの2乗を表します

Q方程式の解き方(ルート含む)

数学のルートを含む比率の式の解き方を教えてください。
1:√3=X:10
です。これをとくと、10=X√3になって・・・
わかりません。教えてください。

Aベストアンサー

普通に移項して、
X=10÷√3 じゃだめですか?

Q不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?

DUO3.0 No404です
The vague rumor proved to be false. Nevertheless, some skepticism lingers on.
上記の二つ目の文章の主語は【some skepticism】ですが動詞に三単現のsが付いています。不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?
よろしくお願いいたします。(他に不可算名詞が主語になっている例文があったら紹介してください。)

Aベストアンサー

こんにちは。4/22のご質問ではお返事を有難うございました。

1.ご質問文の主語skepticismは「無神論」「懐疑論」という主義をあらわす、抽象名詞です。

2.抽象名詞は不可算名詞になります。

3.不可算名詞は数えられません。つまり、単数と同じ扱いになるのです。

4.不可算名詞が主語になる場合、三人称単数の扱いになります。従って、ご質問文の動詞には、三単現のsが付いているのです。

5.Someは「いくつかの」「いくらかの」「ある程度」といった意味を持ち、可算名詞、不可算名詞、両方を修飾することができます。

6.不可算名詞が主語になっている例文:

The sun is necessary for flowers.
「太陽は花に必要だ」
There was much snow.
「沢山雪が降った」

などがあります。
以上ご参考までに。

Q数学の方程式の解き方を教えて下さい!

5+1/2ルート100+r=11
この時のrを求めて下さい。
※100+rはルートの中に入ってます。

学生時代にやったはずなのに、長く数学と触れ合わなかったので忘れてしまって…。

申し訳ないですが、解き方を教えて下さい。
特にルートの外し方が分からず、解けなくなっている状態なので、その部分を詳しく教えていただければ幸甚です。

Aベストアンサー

#1ですが補足です。
√とは「二乗すればその数になる」ということなので√x=yならx=y^2(yの二乗)です。
√4=2です。
つまりルートを外すには右も左も二乗するということになります。

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって、(|x|+|y|)^2=x^2+2|xy|+y^2

◆(|x|-|y|)^2=|x|^2-2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.-2|x||y|はマイナス×プラス×プラスなので結果マイナスにならないといけない。
そして、xとyは正負不明なので-2|x||y|を結果としてマイナスにするためには絶対値を
はずしきっちゃうとまずいので、-2|xy|となる。
3.よって、(|x|-|y|)^2=x^2-2|xy|+y^2

◆|x+y|^2=|(x+y)^2|=|x^2+2xy+y^2|
1.xy≧0のとき、(a+b)^2=(-a-b)^2なので、普通に解いて、x^2+2xy+y^2
2.xy<0のとき、・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

◆|x-y|^2=|(x-y)^2|=|x^2-2xy+y^2|
1.・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

奇妙な質問ですがよろしくお願いします。

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって...続きを読む

Aベストアンサー

場合分けの仕方がよくないですね。
単純に、「絶対値の中身が0以上か、0未満か」で分ければいいです。

(1)|x+y|^2について
0≦x+yのとき:
 |x+y|=x+yなので、|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x+y<0のとき:
 |x+y|=-(x+y)なので、|x+y|^2={-(x+y)}^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2)|x-y|^2について
0≦x-yのとき:
 |x-y|=x-yなので、|x-y|^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
x-y<0のとき:
 |x-y|=-(x-y)なので、|x-y|^2={-(x-y)}^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2

Q不可算名詞にも冠詞?

NHKラジオ英会話講座より (英作文)
If it weren't for the rain, we'd be able to go to the zoo today.
雨じゃなければ、今日動物園に行けるのに。

(質問)[rain],[snow]などは、数えられない名詞で、冠詞は付かないのではないでしょうか? 「不可算名詞には冠詞は付かない」と断言するのは間違いでしょうか?ややこしい質問ですみません。よろしくお願いいたします。以上

Aベストアンサー

不可算名詞には,
「一つの」という意味のある
不定冠詞 a, an はつきません。

不可算名詞は基本的に抽象概念を表す抽象名詞と,液体や材質を表す物質名詞があります。
beauty「美」という抽象名詞も,「美人」の意味になれば可算化して a がつきます。
kindness「親切」という抽象名詞も,「具体的な親切な行為」の意味になれば可算化して a がつきます。
coffee「コーヒー」という物質名詞も,「一杯のコーヒー」という意味で
a coffee とすることもあります。

これに対して,定冠詞 the は,可算名詞・不可算名詞関係なく,用いられます。

rain は一種の物質名詞ですが,「今降っている雨」という特定の雨であれば the がつきます。
There is some water left in the glass.
「グラスに水がいくらか残っています」
I'd like to drink the water.
「その水を飲みたいです」
のように,water も物質名詞ですが,
「特定の水」の場合は the がつきます。

不定冠詞は
one → an(すべての語で)→ 原則 a,一部の語で an
ですので,不可算名詞にはつきませんが,
定冠詞 the は that から来ており,特に可算・不可算は影響しません。

不可算名詞には,
「一つの」という意味のある
不定冠詞 a, an はつきません。

不可算名詞は基本的に抽象概念を表す抽象名詞と,液体や材質を表す物質名詞があります。
beauty「美」という抽象名詞も,「美人」の意味になれば可算化して a がつきます。
kindness「親切」という抽象名詞も,「具体的な親切な行為」の意味になれば可算化して a がつきます。
coffee「コーヒー」という物質名詞も,「一杯のコーヒー」という意味で
a coffee とすることもあります。

これに対して,定冠詞 the は,可算名...続きを読む


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