今だけ人気マンガ100円レンタル特集♪

問題を解いていて、当たり前のように両辺に平方をすることがあったのですが、参考書をよく見るとそれをするときはその前書きや捕捉場所に「両辺が負でないから」などと書いてあります。
両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かるのですが、なぜ、両辺が負でないときに同値性が崩れない(なぜ、p⇒qだけでなくq⇒pが成り立つ)のですか?

つまり、

A > 0, B > 0ならば
A = B ⇔ A² = B²

の証明がうまくできないのでご教示ください。

A 回答 (3件)

=>)


明らか

<=)
A^2=B^2より
(A^2)-(B^2)=0
∴(A-B)(A+B)=0
A+B>0なのでA-B=0が必要。
よってA=B

※A^2はAの2乗を表します
    • good
    • 2
この回答へのお礼

完璧な証明をありがとうございます、おかげで納得しました!!

お礼日時:2014/08/21 16:42

おっと失礼。



>>両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かる

>くずれません。
>くずれる場合を挙げてみてください。

自分で反例を挙げてみる。
A = 2, B = -2

# 何か混乱してた。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

分かりやすくありがとうございます。
感覚的にも理解をすることができました!

お礼日時:2014/08/21 16:41

>両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かる



くずれません。
くずれる場合を挙げてみてください。


さて、A^2 = B^2であるならば、
AとBはとりあえず絶対値は等しい。
符号は同じかもしれないし、違うかもしれない。
ここで、A > 0, B > 0という条件があるので、
AとBは同符号。
絶対値が等しく同符号であるから、A = B。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等...続きを読む

Q両辺ともに0以上なので、2乗して同値である

| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか??
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
実際、


(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式も成り立つので)
| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺を2乗して
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)


これではダメなのでしょうか?


また、もうひとつ、以上とは関係ない質問なのですが、
| 1-2m | = √m^2+1
この式は両辺がともに0以上ですが、
「両辺がともに0以上」の「ともに」が良く分かりません。
片方の辺が0以上ならば、「=」で結ばれたもう片方の辺も0以上なのでは?と思います。
あるいは、例えば、左辺が正で、右辺が負であるというような式もあるのですか?

| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか??
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
実際、


(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式...続きを読む

Aベストアンサー

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

|x+1|=2xが成り立つなら、右辺ももちろん0または正ですが、右辺と左辺をばらばらに考えた場合、左辺は常に0または正ですが、右辺は負にもなり得ます。
これに対し、| 1-2m | = √m^2+1は右辺も左辺もそれぞれをばらばらに考えても常に0または正です。
これが「ともに」の意味です。

a^2=b^2に「aもbもともに0以上」あるいは「aもbもともに0以下」という条件があればa=bとなります。この条件がないとa=-bのときも出てきてしまいます。
元の問題では、「aもbもともに0以上」という条件が満たされているため、a^2=b^2を解けば、その解ではa=bが成り立つわけです。

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

|x+1|=2xが成り立つなら、右辺ももちろん0または正ですが、右辺と左辺をばらばらに考えた場合、左辺は常に0または正ですが、右辺は負にもなり...続きを読む

Q数学の両辺2乗と√について教えてください

「√○=√△」→「○=△」
「○=△」→「√○=√△」

「√○=△」→「○=△^2」
「○=△^2」→「√○=△」
これが成り立つのは○と△がどんな条件のときですか?

Aベストアンサー

中学校で習いますね √(a^2)=aは間違いだと あれですよ 高校行くと√(a^2)=|a|で記号が増えただけで意味わからんところです
「√○=√△」→「○=△」「○=△」→「√○=√△」「√○=△」→「○=△^2」は無条件で成立
「○=△^2」→「√○=△」はだめ 
理由は簡単 平方して等しい式は元の式の符号がわからなくなるので元に戻して2乗を外すときは注意です4=(-2)^2 しかし√4=-2ではありませんね
条件は最後の「√○=△」からでます √○とかくと ルートの中は0以上に実数、さらに√○は0以上の実数と高校で習いますから△は0以上の実数をつけましょう  
基本的に等式の両辺には同じ操作をしてもいいんですがルートをつけるときはルートの定義や符号問題で注意です

Q平方根を取る  とはどういう意味でしょうか

マセマ出版社の「初めから始める数学I」という参考書を使って勉強しているのですが
その中で

(a+b)+2√ab= (√a+√b)^2

この両辺は正で、√a+√b > 0 より
この両辺の正の平方根をとると

√(a+b)+2√ab = √a+√b
↑この√は全体にかかっています

となる


と書いてあります
両辺の正の平方根を取る、というのはどういう意味なのでしょうか?
よろしくお願いします

Aベストアンサー

2乗する前の正の数を求める。
累乗の逆ですね。

Q複素数平面でのベクトルの扱い方について

複素数平面の問題で複素数をベクトルで表していいんですか?
また、複素数平面の図に→OAなどと書いていいのですか?
例えば点Aを表す複素数αがあったとき、αと書かずに→OAと書いていいんですか?
また、点Aを原点中心に60度回転させるとき、α・(cos60°+isin60°)と書かず
に、→OA・(cos60°+isin60°)と書いていいのですか?
先生によって言うことがまちまちなので混乱しています。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

酸素系漂白剤と塩素系漂白剤は,それぞれ単独では役に立ちますが,
「混ぜるなキケン!!」
混ぜると毒ガスが発生して危ないのでした.

ところで,ご質問の補足
>「単独で書く場合」とはどのような場合でしょうか?
の回答ですが,許される例を挙げると,
「2点A(α),B(β)に対し,ベクトル→ABを表す複素数はβ-α(別表現:ベクトル→ABに対応する複素数はβ-α)であり,
点Aを中心に点Bを+60°回転した点をC(γ)とすると,
→ABを(点Aを中心に)+60°回転したものが→ACだから
γ-α=(β-α)(cos60°+isin60°)
より γ=・・・」
などと分離して使う場合です.(対応させて使うが混ぜない.特に "→AB=β-α(誤)" などとは決して書かないこと.)
しかし,きちんと識別して使う限り,複素数をベクトル的な見方で使っていることはしばしばあって,考えやすくて有用です.

Q位置ベクトルについて

今ベクトルを勉強しているのですが、位置ベクトルの考え方がよくわかりません。
位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、
そうすると、
位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか?

位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

>位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点A(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、

OA=(2,3)

ですよね。
また、線分MNの中点Pの位置ベクトルは、
点M、点Nの位置ベクトルを、それぞれ
→   →
OM, ON
とすると、
→   →   →    
OP=(OM+ON)÷2

のようになりますよね。
その点Pの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに
どうなるのだろうか?みたいな感じだと思ってください。

>位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか?

その点の位置関係を、相対的に表せる、ということで大変便利なのです。
原点Oを定めておくと、平面上の点Aの位置は、
ベクトルOAによって、定まりますよね。
このとき、→ →
     a=OAを点Aの位置ベクトルといい、
位置ベクトル→        →
      aの点を、たんに、点aと呼ぶこともあります。

>位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。

位置ベクトルは、ベクトルの中でもかなり重要ポイントです。
考え方のポイントというか、コツは、図形の証明なんかでも
「とにかく位置ベクトルで考えてみよう!」
ということです。

たとえば、今まであたりまえのような定理として使ってきた
「三角形ABCの、底辺をBCとしたときに、
AB,ACの中点M,Nを結ぶ線分MNは、
底辺BCに平行で、長さはBCの半分である」

などという定理も、位置ベクトルを用いれば、分かりやすく証明されます。
上の問題は、平行、かつ半分、を示せばよいので
→     →
MN=(1/2)BC
がいえればよいですね。
三角形の3点A,B,Cの位置ベクトルを、
→ → →    →  →
a, b, cとして、MN、BCを、それぞれで表してみましょう。

頑張ってください。慣れると大変便利でベクトルが得意になりますよ。
ご参考になればうれしいです。

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

>位置ベクトルというのは、点Oを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Oに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点A(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、

OA=(2,3)

ですよね。
また、線分MNの中点Pの位置ベクトルは、
点M、点Nの位置ベクトルを...続きを読む

Q絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって、(|x|+|y|)^2=x^2+2|xy|+y^2

◆(|x|-|y|)^2=|x|^2-2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.-2|x||y|はマイナス×プラス×プラスなので結果マイナスにならないといけない。
そして、xとyは正負不明なので-2|x||y|を結果としてマイナスにするためには絶対値を
はずしきっちゃうとまずいので、-2|xy|となる。
3.よって、(|x|-|y|)^2=x^2-2|xy|+y^2

◆|x+y|^2=|(x+y)^2|=|x^2+2xy+y^2|
1.xy≧0のとき、(a+b)^2=(-a-b)^2なので、普通に解いて、x^2+2xy+y^2
2.xy<0のとき、・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

◆|x-y|^2=|(x-y)^2|=|x^2-2xy+y^2|
1.・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

奇妙な質問ですがよろしくお願いします。

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって...続きを読む

Aベストアンサー

場合分けの仕方がよくないですね。
単純に、「絶対値の中身が0以上か、0未満か」で分ければいいです。

(1)|x+y|^2について
0≦x+yのとき:
 |x+y|=x+yなので、|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x+y<0のとき:
 |x+y|=-(x+y)なので、|x+y|^2={-(x+y)}^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2)|x-y|^2について
0≦x-yのとき:
 |x-y|=x-yなので、|x-y|^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
x-y<0のとき:
 |x-y|=-(x-y)なので、|x-y|^2={-(x-y)}^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2

QΣと∫って入れ替えできるんですか!?

Σと∫を入れ替えられる条件とはなんでしょうか?
例えば
∫Σt^n/n!dt
という式があって
Σ∫t^n/n! dt
のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。

さらに、同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか?
lim∫1/t dt 
=∫lim1/t dt
みたいな感じです。

お願いします!教えてください!!

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから(現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので)。

また、どの程度(高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル)での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。

有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない(適用できない)ケースがしばしば現れますから。。。

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、...続きを読む

Q高校化学 電気陰性度と電子親和力の違い

電気陰性度と電子親和力の違いが、何を読んでも理解できません。。。
はっきりとした違いがあるはずなのですが、的確に説明してもらえると嬉しいです

Aベストアンサー

電気陰性度は「電子を引き付ける強さ」
電子親和力は「電子を1つ付加したときに出るエネルギー」です。
電子親和力が大きいと、エネルギーがたくさん放出されるので安定になります。
それだけ電子を付加しやすい(=取り込みやすい)のですから、
電子親和力が大きければ電気陰性度も高くなります。

Q証明終了の記号。

証明が終わったという記号は、どんなものがあるのでしょうか?

調べたところ、QED、■、//があるということですが、手書きの場合だと、個人的な意見としては、//が書きやすいです。

ですが、よく使われるのは、QEDなのでしょうか?
最近の流行りがあるのであれば、どれが一般的なのか知りたいです。

Aベストアンサー

どれも非常によく使われますが、
どれを使っても ダサい ことに変わりはありません。
証明を書いたのと同じ言語で、「証明終了」とか
"That was to be proved." とか、書いておくのが
自然だと思います。証明をラテン語で書いたのなら、
"quod erat demonstrandum" ですね。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング