恒等式の両辺を微分して得られた新しい式は恒等式なの

恒等式の両辺を微分して得られた新しい式は恒等式なのでしょうか？

No.4 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/03/04 17:03

恒等式の両辺が微分出来る関数なら、もちろん微分して得られた式は恒等式です。

これは微分に限った話ではありません。
なっとくが行かないなら、微分の定義にもどって式を書いてみてください。

f(x)=g(x)ならば、
あらゆるxとh≠0について
(f(x+h)-f(x))/h-(g(x+h)-g(x))/h=0
が成り立ちます。
ここでh→0とすれば極限値が存在し、
(f(x+h)-f(x))/h → f'(x)
(g(x+h)-g(x))/h → g'(x)
となります。
つまりf'(x)=g'(x)が得られます。

一般に等しい量に同じ手続きをして得られる量が等しいのは当然のことですよね。

No.3 回答者： Water_5 回答日時： 2013/03/04 11:41

恒等式の両辺を微分するとやはり恒等式になる。

素直に考えれば、それが普通だ。

しかし面白いもので、素直でない恒等式もでてくる。
（両辺を微分しても等しくならない。）

No.2 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2013/03/03 21:38

恒等式であれ何式であれ、「=」で結んでいたら、両辺は等しい、つまり同じものということです。

その同じもの 2 つに微分という同じ処理を行っても、その結果は当然同じであるはずです。なぜなら、2 つは同じものだからです。

それが、「=」で結ぶという行為に伴う「責任」というものでもあります。小学校で習う算数でも何でも、同様です。

恒等式とは、変数に代入する値をいくつにしても、両辺が等しくなるような等式です。だから、人々が通常、公式と呼んでいるものも含まれてきます。いくつか具体例を見ましょう。

恒等式 3 = 3 は、両辺を微分すると 0 = 0 となり、等しいです。当たり前ですね。

等式 ax^2 + bx - 3 = 2x^2 + cx + d は、a = 2, b = c, d = -3 という条件下では、両辺が共に 2x^2 + bx - 3 となるので、x の値によらず等しい、つまり恒等式です。両辺の式の形が同一なので、微分したものも等しいです。当たり前ですね。

等式 sin^2 x + cos^2 x = 1 は、これが恒等式となるように三角関数が定義されているので、恒等式です。ピタゴラスの定理や単位円を考えればいいでしょう。両辺を x で微分すると、左辺は 2sin x cos x - 2sin x cos x = 0 です。右辺を x で微分しても 0 なので、やはり等しいですね。

同じ処理を施したはずなのに、両辺が同じにならないとしたら、微分する前の式において「=」で結んでいたことがそもそも間違いだったということになります。

No.1 回答者： HIROWI02 回答日時： 2013/03/03 20:44

こんにちは。

恒等式っていうのは左辺右辺の変数に何らかの値を代入しても等式が成り立つことをいいます。

ですから、両辺を微分しても積分しても変数に同じ値を入れて等式がなりたてば恒等式です。